タグ付けされた質問 「first-order-logic」

英語の「含意」は論理演算子「含意」と同じことを意味していないようで、ほとんどの場合、「OR」という言葉は日常言語での「排他的OR」を意味します。 2つの例を見てみましょう。 今日が月曜日の場合、明日は火曜日です。 これは本当です。 しかし、次のように言うと： 太陽が緑の場合、草は緑です。 これも事実とみなされます。どうして？この背後にある自然英語の「論理」とは何ですか？それは私の心を吹き飛ばします。

24 terminology  logic  first-order-logic  propositional-logic 

私は最近、矛盾による証明の有効性について考えていました。直観主義の論理とゲーデルの定理に関する過去数日間の記事を読んで、質問に対する答えが得られるかどうかを確認しました。今はまだ質問が残っており（おそらく私が読んだ新しい資料に関連する）、いくつかの答えが得られることを望んでいた （警告：あなたは論理の非常に混乱した基盤でコンテンツを読みに行こうとしている、すべてを一粒の塩で取り、それは答えではなく質問であると仮定し、それに多くの誤解があります）。 私の主な質問は、Aが何らかの矛盾につながることを示したら、Aが偽であってはならないことを示したら、Aが真でなければならないと結論付けることだと思います。その部分は理にかなっています（特に、除外された中間の法則を理にかなっているものとして受け入れる場合）が、気になるのは、矛盾による証明が実際にどのように発生するかです。まずAではなくAから始めて、公理と推論の規則を（機械的に言うと）適用し、それが私たちをどこに導くかを見てみましょう。通常、矛盾に達します（たとえば、Aがtrueまたはおよびがtrue）。私たちは、Aが偽であってはならないと結論付け、Aは真です。それはいいです。しかし、私の質問は、正式なシステムにはどのような保証がありますか¬φ¬φ\neg \varphiϕϕ\phi同じプロセスを適用したが、Aで開始した場合、矛盾も生じないでしょうか？Aの同じプロセスが同様に行われた場合、矛盾に到達しないという矛盾によって、いくつかの隠れた仮定が行われていると思います。不可能な証拠はありますか？言い換えれば、ターニングマシン（TM）（またはスーパーTM）が永遠に続き、おそらく公理からのすべての論理的ステップを、本当のステートメントAから始めて試行した場合AAA、矛盾を見つけるために停止しないことが保証されます？ その後、私は過去の質問と、ゲーデルの次のような不完全性定理との関係を作りました。 算術を表現する形式システムFは、（F内で）独自の一貫性を証明できません。 これは基本的に、それが本当なら一貫性、つまりAではなくAが起こらないことを保証することは不可能であることを私に明確にした。したがって、矛盾による証明は、一貫性が何らかの形で保証されていると暗黙的に仮定するだけであるように思われました（そうでなければ、なぜその一貫性をまだ知らなかった場合、Aが可能でないことを証明することによってAが真であると結論付けますか？そして、A）ではなくA）のステートメントのペアについては、矛盾はありませんか？これは間違っていますか、何か見落としましたか？ 次に、除外された中間のルールを公理に含めるだけで、すべての問題が解決されると考えました。しかし、気が付いたのは、それをやるのであれば、それを処理するのではなく、単に問題を定義するだけだということです。定義によってシステムの整合性を強要しただけでは、必ずしも実際に整合性があるとは限りません...そうでしょうか？私はこれらのアイデアを理解しようとしているだけで、何をすべきかはよくわかりませんが、これらの概念、矛盾、排他的ミドルのほぼすべての側面で何かを読んでビデオを見た後、これが実現しています直観主義論理、ゲーデルの完全性および不完全性定理… これに関連して、除外された中間（または矛盾）のルールなしに何かが偽であることを実際に直接証明することは本質的に不可能であると思われます。証明システムは真の陳述を証明するのに優れているようですが、私の理解では、物事が偽であることを直接示すことはできません。おそらく、彼らがそれを行う方法は、矛盾（間接的に何かが間違っているか悪いことが起こるはずだと示す）、または除外された中間（一方のAのみの真理値を知っているかAが他の真実を私たちに与える場合）または反例を提供します（基本的に反対のことが当てはまるので、除外された中間の法則を間接的に使用します）。何かが間違っているという建設的な証拠が本当に欲しいのでしょうか？ Aが偽ではないことを証明すれば（矛盾を受け入れると）本当に大丈夫であり、Aにすべての推論規則と公理を無限に適用する必要はなく、Aが勝ったことが保証されていることを知っていると思います矛盾に到達しないでください。それが本当なら、矛盾による証明をもっと簡単に受け入れることができると思います。これは本当ですか、またはゲーデルの2番目の不完全性は、私がこれを所有できないことを保証しますか？私がこれを持てなければ、私が困惑するのは、長年の数学者が私たちが矛盾を発見していない数学をすることで、それがどのように可能かということです。一貫性の経験的証拠に頼る必要がありますか？または、たとえば、FがFであると証明することでF教授は一貫していますが、実際にはSuperFとFだけは必要ないので、本当に機能するコンテンツにはなれませんか？ 私は自分の苦情が直接的な証拠にも一般化されていることに気づきました。わかりましたので、Aの直接証明を行った場合、Aが真であることがわかります...しかし、A以外の直接証明を行った場合、正しい証明も得られないことをどのように確認できますか？同じ質問を強調しているように見えます。

19 logic  first-order-logic  propositional-logic  incompleteness 

一貫性と完全性は健全性を意味するという質問を読んでいましたか？そして、その中の最初の文は言う： 健全性は一貫性を意味することを理解しています。 健全性は一貫性よりも弱い表現だと思っていたので、私は非常に困惑していました（つまり、一貫性のあるシステムは健全でなければならないと思っていましたが、それは真実ではないと思います）。一貫性と健全性のために、MITの6.045 / 18.400コースで Scott Aaronsonが使用していた非公式の定義を使用していました。 健全性=証明システムは、証明するすべてのステートメントが実際に真実である場合に証明されます（証明可能なものはすべて真実です）。すなわち、IF（は証明可能）（はTrue）。したがって、IF（式へのパスがあります）THEN（その式はTrueです）ϕϕ\phi⟹⟹\impliesϕϕ\phi 一貫性=一貫性のあるシステムは、決してAとNOT（A）を証明しません。したがって、1つのAまたはその否定のみがTrueになります。 これらの（おそらく非公式の）定義を念頭に置いて、健全ではあるが一貫性のないシステムがあることを示すために、次の例を作成しました。 CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}}CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}} CharlieSystem \triangleq \{ Axioms=\{A, \neg A \}, InferenceRules=\{NOT(\cdot) \} \} サウンドシステムだと思った理由は、公理が正しいと仮定するからです。したがって、AではなくAが両方とも当てはまります（はい、除外された中間の法則は含まれていません）。唯一の推論規則は否定であるため、公理からAではなくAの両方に到達し、互いに到達できることがわかります。したがって、このシステムに関してはTrueステートメントのみに到達します。ただし、システム内の唯一のステートメントの否定を証明できるため、もちろんシステムは一貫していません。したがって、サウンドシステムには一貫性がない可能性があることを示しました。この例が間違っているのはなぜですか？私は何を間違えましたか？ 私の頭の中でこれは直感的に理にかなっています。健全性とは、推論ルールから始めて公理とクランクを設定すると、真の目的地（ステートメント）にのみ到達するということです。ただし、実際にどの目的地に到着したかはわかりません。ただし、一貫性は、または（両方ではない）に到達する宛先にのみ到達できることを示しています。したがって、すべての一貫したシステムには、公理として除外された中間の法則を含める必要があります。もちろん、私はそうではなく、唯一の公理の否定を他の公理として含めました。だから、私があまりにも賢いことをしたとは思わないが、どういうわけか何かが間違っていますか？¬ AAAA¬A¬A\neg A 私はスコットの非公式の定義を使用しているため、それが問題になる可能性があることに気づきました。質問を書く前でもウィキペディアをチェックしましたが、その定義は私には意味がありませんでした。特に彼らが言う部分： システムのセマンティクスに関して 完全な引用は次のとおりです。 システムで証明できるすべての式は、システムのセマンティクスに関して論理的に有効です。

12 terminology  logic  first-order-logic  propositional-logic  incompleteness 

次の演習を解こうとしましたが、すべての重要なペアを見つけようとしていました。 次の質問があります。 どのクリティカルペアが新しいルールを作成したかを知るにはどうすればよいですか？ すべての重要なペアを見つけたとどうやって知るのですか？ LET ∘がバイナリであるが、私は単項であり、eは定数です。 E = { （X ∘ Y ）∘ Z ≈ X ∘ （Y ∘ Z ） X ∘ E ≈ X X ∘ I （X ）≈ E }Σ={∘,i,e}Σ={∘,i,e}\Sigma= \left \{ \circ, i, e \right \}∘∘\circiiieeeE=⎧⎩⎨⎪⎪(x∘y)∘z≈x∘(y∘z)x∘e≈xx∘i(x)≈e⎫⎭⎬⎪⎪E={(x∘y)∘z≈x∘(y∘z)x∘e≈xx∘i(x)≈e} E=\left \{ \begin{gather} ( x \circ y ) \circ z …

10 logic  first-order-logic 

私は最近、主に単語のグループを特別なプロパティと照合する正規表現の課題を提案するWebサイトについて友人と話し合いました。彼は||||||||、数|が素数であるような文字列に一致する正規表現を探していました。そのような言語は、通常であれば、補題をポンプの翻訳が素数のためにあるという事実与えますので、私はすぐにそれが今まで動作しません彼に言われた十分な大きさ、それが存在するのk ≤ pがあるようP + N kは、すべての主要ですN ≥ - 1、よく、これは全くケースしにくい（素数の配分、そのような未知の自明とプロパティを破砕、...）pppk≤pk≤pk \leq pp+nkp+nkp + nkn≥−1n≥−1n \geq -1 しかし、誰かが解決策に付属している：一致しない(||+?)\1+ キャプチャグループに一致するように、この表現しようとする（つまりすることができ||、|||、||||などの上の出現箇所）のn ≥ 2回。一致する場合、文字列で表される数はkで割り切れるので、素数ではありません。それ以外の場合です。k≥2k≥2k \geq 2|n≥2n≥2n \geq 2kkk そして、グループ化と後方参照により、正規表現が理論的な意味で...正規表現よりも実際にはるかに表現力豊かになることが明らかになったので、私は愚かに感じました。今では、実際の正規表現を実行するときに私が知らなかったルックアラウンドやその他の演算子も追加されました。 ウィキペディアによると、文脈自由文法によって生成された言語よりもさらに表現力があります。だからここに私の質問があります： 現代の正規表現エンジンを使用して、（文脈自由文法から生成された）代数言語を表現できますか より一般的な説明、または現代の正規表現で説明できる言語の種類の複雑さの少なくとも上限はありますか？ より実用的には、その背後に深刻な理論がありますか、それとも有限オートマトンに基づく実際の正規表現の最初のブロックに実装可能と思われるたびに新しい機能を追加するだけですか？ 「モダンな正規表現」は質問が具体的ではないことを知っていますが、少なくとも後方参照を使用することを意味します。もちろん、この「現代の正規表現」言語に対する特定の制限を想定している部分的な回答者がいる場合は、遠慮なく投稿してください。

9 formal-languages  machine-models  logic  boolean-algebra  xor  cryptography  algorithms  machine-learning  algorithms  paging  virtual-memory  programming-languages  object-oriented  algorithms  search-algorithms  strings  binary-search  formal-grammars  context-free  algorithms  algorithms  correctness-proof  greedy-algorithms  permutations  logic  first-order-logic  logic-programming  algorithms  complexity-theory  computability  programming-languages  complexity-theory  complexity-classes  quantum-computing  reductions  formal-languages  programming-languages  semantics  operational-semantics  small-step-semantics  sets  first-order-logic  computer-networks  communication-protocols 

FOTはFOLのサブセットであると思いましたが、FOLは完全であり（すべての数式が有効または無効）、一部のFOT（線形整数演算など）は完全ではないため、そうではないようです。 では、FOLはどのFOTよりも表現力が高いのでしょうか？または比類のないですか？ また、「LIAで有効であるがLIAの公理を使用して証明できないステートメントがある」というステートメントは奇妙です。妥当性を証明できない場合、ステートメントはどのように有効ですか？発言の有効性を証明できない場合、それが有効であると主張することはできないといつも思っていました。

8 logic  first-order-logic 

ましょうx=(x1,…,xn)x=(x1,…,xn)x=(x_1,\dots,x_n)とあることのブール変数の-vectors。私はブール述語をに持っています。友達にプリシラを渡します。それに応答して、彼女は私に与え、上のブール述語、と彼女は主張しますy=(y1,…,yn)y=(y1,…,yn)y=(y_1,\dots,y_n)nnnQ(x,y)Q(x,y)Q(x,y)x,yx,yx,yQ(x,y)Q(x,y)Q(x,y)P(x)P(x)P(x)xxx P(x)≡∃y.Q(x,y),P(x)≡∃y.Q(x,y),P(x) \equiv \exists y . Q(x,y), 言い換えれば、 ∀x.[P(x)⇔∃y.Q(x,y)].∀x.[P(x)⇔∃y.Q(x,y)].\forall x . [P(x) \Leftrightarrow \exists y . Q(x,y)]. なんとか彼女の主張を検証したい。プリシラはこの主張を確認するのにどのように役立ちますか？ と両方がCNF式として表され、それらが大きすぎない（多項式サイズなど）と想定できます。PPPQQQ 理想的な世界では、この主張をSATに検証する問題を軽減できればすばらしいでしょう。SATソルバーがあり、SATソルバーを使用してこの主張を検証できればすばらしいと思います。ただし、この主張をSATインスタンスとして直接検証するという問題を定式化することは不可能だと確信しています。2QBF式の有効性をテストすることは、 SATよりもほぼ確実に困難です。（方向はSATインスタンスとして簡単に定式化できますが、方向は2つの交互の量指定子が本質的に含まれるため困難です。）⇐⇐\Leftarrow⇒⇒\Rightarrow しかし、プリシラが彼女の主張を裏付けるいくつかの追加の証拠を私に与えることができると仮定します。プリシラが私に与えることができる追加の証拠または証人はありますか？それにより、彼女の主張を簡単に確認できますか？特に、彼女が私に与えることができる追加の証拠または証人はありますか？これにより、彼女の主張をSATのインスタンスとして検証する問題を簡単に定式化できます（次に、SATソルバーを適用できます）？ 私の設定の珍しい側面の1つは、SATのオラクルがあると（ヒューリスティックに）想定していることです。複雑さの理論が好きなら、このように考えることができます。私は、（つまり、）で計算できるマシンの役割を担っており、プリシラのアルゴリズムを使用して要求します。このような考え方について、mdxに感謝します。PNPPNPP^{NP}ΔP2Δ2P\Delta^P_2PNPPNPP^{NP} 私の動機/アプリケーション：システムの正式な検証（たとえば、シンボリックモデルのチェック）を行うつもりであり、推論の重要なステップには、数量詞の削除（つまり、から開始して取得する）が含まれます。量指定子の削除が正しく行われたことを確認するためのクリーンな方法を期待しています。QQQPPP 考えられるすべてので機能する解決策がない場合は、「健全だが完全ではない」解決策を提案してください。つまり、多くの、主張された同等性を検証できます。（主張を満たす主張の検証に失敗した場合でも、誤った主張を検証したと不適切に主張しない限り、ヒューリスティックとしてこれを試すことができます。特定の、機能する場合と機能しない場合があります。機能しない場合でも、始めたときより悪くはありません）。P 、Q P 、QP,QP,QP,QP,QP,QP,QP,QP,QP,QP,QP,QP,Q

8 logic  satisfiability  first-order-logic  software-verification  model-checking 

次のような変数バインディングを使用する言語のアルファ同値関係に興味があります。 t := x:y 'x belong to y' | bot 'False' | t -> t 'implication' | Ax.t 'forall x, t' または純粋なラムダ計算： t := x 'variable' | (t t) 'application ' | Lx.t 'abstraction: \x -> t' 言語の2つの用語がアルファ相当であるかどうかを判断できるアルゴリズムを探しています。公開されたリファレンスも大歓迎です。私は、Haskellのように、標準的な再帰型として用語のデータ表現を想定しています。 newtype Var = Var Int data Term = Belong Var Var | …

7 logic  lambda-calculus  first-order-logic 

Papadimitriouの "Computational Complexity"は、一次論理（算術なし）の式が有効かどうかを決定する問題であるVALIDITYが再帰的に列挙可能であると述べています。これは完全性と健全性の定理に由来します。これはVALIDITYとTHEOREMHOODに相当します。後者は、以前に再帰的に列挙可能であることが示されている公式の証明を見つける問題です。 ただし、式が与えられているため、VALIDITYが再帰的でない理由もわかりません。 φφ\phi、THEOREMHOODの2つのチューリングマシンを実行できます。 φφ\phi と他の ¬φ¬φ\neg \phi、同時に。それらの少なくとも1つが有効であるため、常に次のことを決定できます。φφ\phi有効または無効です。何が欠けていますか？ 注：この質問は算術のない 1次の論理を参照しているため、ゲーデルの不完全性定理はここでは関係ありません。

7 complexity-theory  undecidability  first-order-logic 

私は、Ronald BrachmanとHector Levesqueによる優れた知識表現と推論を読んでいます。 第3章「知識の表現」のセクション3.2「語彙」の冒頭で、彼らは次のように述べています。 KB（ナレッジベース）の作成では、KBのドメインに関する事実の基礎を提供するドメイン依存の述語と関数のセットから開始することをお勧めします。 同じセクションで、これらの事実は3つのカテゴリに分けられます。 基本的な事実 複雑な事実 用語の事実 章全体を読んだ後、これらのタイプの事実の違いを完全には理解できませんでした。 誰かがこれらの概念の違いを理解するのを手伝ってくれる？

7 terminology  logic  knowledge-representation  first-order-logic  reasoning 

通って行くいくつかの知識表現のチュートリアル現時点では解像度に、と私は出くわしたスライド05.KR、no77。 そこでは「手続きも完了」とのこと。 この完全性は、文章がKBを伴う場合、解決によって導出されることを意味するものではないと思います。たとえば、解決は、単一の句を含むKBからを導出できません。（53ページのKRR、BrachmanおよびLevesqueの例）。（q∨ ¬ Q）（q∨¬q）(q \lor \neg q)¬ P¬p\neg p このスライドの意味を理解するのを手伝ってくれる人はいますか？スライドの完全性とは、完全な証明手続きではなく、反論が完全であることを指しますか？

7 logic  first-order-logic