なぜ、一次論理（算術なし）のVALIDITYは再帰的にしか列挙できず、再帰できないのですか？

Papadimitriouの "Computational Complexity"は、一次論理（算術なし）の式が有効かどうかを決定する問題であるVALIDITYが再帰的に列挙可能であると述べています。これは完全性と健全性の定理に由来します。これはVALIDITYとTHEOREMHOODに相当します。後者は、以前に再帰的に列挙可能であることが示されている公式の証明を見つける問題です。

ただし、式が与えられているため、VALIDITYが再帰的でない理由もわかりません。 $\phi$、THEOREMHOODの2つのチューリングマシンを実行できます。 $\phi$ と他の $\neg \phi$、同時に。それらの少なくとも1つが有効であるため、常に次のことを決定できます。$\phi$有効または無効です。何が欠けていますか？

注：この質問は算術のない 1次の論理を参照しているため、ゲーデルの不完全性定理はここでは関係ありません。

ただし、式が与えられているため、VALIDITYが再帰的でない理由もわかりません。 $\phi$、THEOREMHOODの2つのチューリングマシンを実行できます。 $\phi$ と他の $\neg \phi$、同時に。それらの少なくとも1つが有効であるため、常に次のことを決定できます。$\phi$有効または無効です。何が欠けていますか？

これは間違っています。式$\phi$すべてのモデルで保持されている場合に限り有効です。

少なくとも1つが $\phi$ そして $\lnot\phi$ 有効である必要があります。両方が一部のモデルで保持される場合がありますが、すべてではない場合があります。

簡単な例：2つの定数シンボルでFOLを取る ${\sf a}, {\sf b}$、および式 $\phi \equiv {\sf a}={\sf b}$。その後$\phi$ 一部のモデル（解釈するモデル） $\sf a$ そして $\sf b$同じポイントで）、しかしそれらのすべてではありません（モデルはそれらを異なるポイントにマッピングできます）。そして確かに、FOLは証明できません${\sf a} = {\sf b}$ また ${\sf a} \neq {\sf b}$。

一次文は、可能なすべてのモデルで真である場合、つまり、関係記号、関数記号（存在する場合）、および定数記号の意味のすべての選択について真である場合に有効です。一部の証明システムには、その証明システムに文の証明が含まれている場合、その文は証明可能です。

証明可能性と妥当性は2つの別個の概念ですが、妥当性が再帰的であることを示す試みは、実際には妥当性ではなく証明可能性を決定します。

有効性と証明可能性は、さらに2つの概念によって結び付けられています。

• 証明システムは、証明できるすべてのものが有効である場合、つまり、実際に真実であると証明することしかできない場合、健全です。
• 証明システムは、すべてが有効であることを証明できれば完全です。つまり、すべての真実を証明できます。

したがって、提案された方法は、完全な証明システムを使用している場合は問題ありません。つまり、有効なすべての文を正確に証明できるため、証明可能性を決定することは有効性を決定することと同じです。残念ながら、ゲーデルの有名な不完全性定理は、一次論理の健全で完全な証明システムはないと言っています。

したがって、システムが健全である（真のことのみを証明する）場合、システムは不完全です（すべての真のことを証明するわけではありません）。特に、いくつかの文章があります $\varphi$ どちらも $\varphi$ また $\neg\varphi$ システムに証拠があります。つまり、チューリングマシンは入力で停止しません。 $\varphi$なので、実際には言語を決定しません。または、システムが完全な場合（すべての真のことが証明された場合）、それは不健全です。少なくとも1つの偽のことを証明します。実際、偽は何かを意味するため、すべての文が有効であることを証明します。その場合、有効性を決めると思っていたチューリングマシンが実際に決める $\Sigma^*$。