排除された中間の法則がなくても、矛盾による証明は機能しますか？

私は最近、矛盾による証明の有効性について考えていました。直観主義の論理とゲーデルの定理に関する過去数日間の記事を読んで、質問に対する答えが得られるかどうかを確認しました。今はまだ質問が残っており（おそらく私が読んだ新しい資料に関連する）、いくつかの答えが得られることを望んでいた

（警告：あなたは論理の非常に混乱した基盤でコンテンツを読みに行こうとしている、すべてを一粒の塩で取り、それは答えではなく質問であると仮定し、それに多くの誤解があります）。

私の主な質問は、Aが何らかの矛盾につながることを示したら、Aが偽であってはならないことを示したら、Aが真でなければならないと結論付けることだと思います。その部分は理にかなっています（特に、除外された中間の法則を理にかなっているものとして受け入れる場合）が、気になるのは、矛盾による証明が実際にどのように発生するかです。まずAではなくAから始めて、公理と推論の規則を（機械的に言うと）適用し、それが私たちをどこに導くかを見てみましょう。通常、矛盾に達します（たとえば、Aがtrueまたはおよびがtrue）。私たちは、Aが偽であってはならないと結論付け、Aは真です。それはいいです。しかし、私の質問は、正式なシステムにはどのような保証がありますか$\neg \varphi$$\phi$同じプロセスを適用したが、Aで開始した場合、矛盾も生じないでしょうか？Aの同じプロセスが同様に行われた場合、矛盾に到達しないという矛盾によって、いくつかの隠れた仮定が行われていると思います。不可能な証拠はありますか？言い換えれば、ターニングマシン（TM）（またはスーパーTM）が永遠に続き、おそらく公理からのすべての論理的ステップを、本当のステートメントAから始めて試行した場合$A$、矛盾を見つけるために停止しないことが保証されます？

その後、私は過去の質問と、ゲーデルの次のような不完全性定理との関係を作りました。

算術を表現する形式システムFは、（F内で）独自の一貫性を証明できません。

これは基本的に、それが本当なら一貫性、つまりAではなくAが起こらないことを保証することは不可能であることを私に明確にした。したがって、矛盾による証明は、一貫性が何らかの形で保証されていると暗黙的に仮定するだけであるように思われました（そうでなければ、なぜその一貫性をまだ知らなかった場合、Aが可能でないことを証明することによってAが真であると結論付けますか？そして、A）ではなくA）のステートメントのペアについては、矛盾はありませんか？これは間違っていますか、何か見落としましたか？

次に、除外された中間のルールを公理に含めるだけで、すべての問題が解決されると考えました。しかし、気が付いたのは、それをやるのであれば、それを処理するのではなく、単に問題を定義するだけだということです。定義によってシステムの整合性を強要しただけでは、必ずしも実際に整合性があるとは限りません...そうでしょうか？私はこれらのアイデアを理解しようとしているだけで、何をすべきかはよくわかりませんが、これらの概念、矛盾、排他的ミドルのほぼすべての側面で何かを読んでビデオを見た後、これが実現しています直観主義論理、ゲーデルの完全性および不完全性定理…

これに関連して、除外された中間（または矛盾）のルールなしに何かが偽であることを実際に直接証明することは本質的に不可能であると思われます。証明システムは真の陳述を証明するのに優れているようですが、私の理解では、物事が偽であることを直接示すことはできません。おそらく、彼らがそれを行う方法は、矛盾（間接的に何かが間違っているか悪いことが起こるはずだと示す）、または除外された中間（一方のAのみの真理値を知っているかAが他の真実を私たちに与える場合）または反例を提供します（基本的に反対のことが当てはまるので、除外された中間の法則を間接的に使用します）。何かが間違っているという建設的な証拠が本当に欲しいのでしょうか？

Aが偽ではないことを証明すれば（矛盾を受け入れると）本当に大丈夫であり、Aにすべての推論規則と公理を無限に適用する必要はなく、Aが勝ったことが保証されていることを知っていると思います矛盾に到達しないでください。それが本当なら、矛盾による証明をもっと簡単に受け入れることができると思います。これは本当ですか、またはゲーデルの2番目の不完全性は、私がこれを所有できないことを保証しますか？私がこれを持てなければ、私が困惑するのは、長年の数学者が私たちが矛盾を発見していない数学をすることで、それがどのように可能かということです。一貫性の経験的証拠に頼る必要がありますか？または、たとえば、FがFであると証明することでF教授は一貫していますが、実際にはSuperFとFだけは必要ないので、本当に機能するコンテンツにはなれませんか？

私は自分の苦情が直接的な証拠にも一般化されていることに気づきました。わかりましたので、Aの直接証明を行った場合、Aが真であることがわかります...しかし、A以外の直接証明を行った場合、正しい証明も得られないことをどのように確認できますか？同じ質問を強調しているように見えます。

あなたは尋ねました（あなたの質問を少しはっきりさせています）：「と両方が矛盾につながることは起こり得ないという正式な保証はありますか？」論理に一貫性がない場合、矛盾による証明に問題があると心配しているようです。しかし、これはまったくそうではありません。$\lnot p$$p$

論理が矛盾している場合、矛盾による証明は依然として非常に有効な推論のルールですが、その否定もそうであり、から次の教皇であると結論付けることができるというルールです。論理の不整合は何も無効にしません。まったく逆で、すべてを検証します！$1 + 1 = 2$

別の混乱の原因として考えられるものがあります。質問のタイトルは、除外された中間の法則が論理が一貫していると言っていることを暗示するものとして読むことができます。それは間違っています。論理の一貫性は「ステートメントとその否定の両方に証明があるわけではない」に等しいが、除外された中間は、形式のステートメントを証明できるルールである。$p \lor \lnot p$

補足：この質問が多くの議論を生み出している理由がわかりません。私はジレンマが実際に何であるかを理解するのに苦労しており、私が知る限り、質問はある種の誤解から生じています。誰かが質問を解明できるなら、私は感謝します。また、次の点に注意を喚起したいと思います。

1. 矛盾による証明と除外された中間は互いに同等であるため、書かれているタイトルは無意味です。もちろん、一方を他方なしで使用することはできません。それらは同等です。

2. 質問の長い議論から理解できることから、OPは論理の矛盾が証明を無効にすることを言っている、または心配しているようです。上で指摘したように、これは間違っています。OPからのある種の応答に感謝します：OPは、ロジックの不整合（つまり、すべてを証明できること）がどのような証拠も無効にしないかを見ることができますか？

3. 私はそれを見つける可能性がありますが、OPは、除外された中間の法則がと両方を保持することは不可能であると考えていることを本当に確信することはできません（式：）。これは、途中で除外されません。非矛盾の法則と呼ばれることもあり、証明可能です（除外された中間なし）。$p$$\lnot p$$\lnot (p \land \lnot p)$

4. OPは、「中間を除外せずに何かが間違っていることを直接証明することは不可能」だと考えています。彼は否定の証明と矛盾による証明を混同しているが、これらは同じものではない。リンクされた投稿には、何かが間違っているという建設的な証拠の例がたくさんあります。実際、教科書にある何かが間違っているという証拠のほとんどはすでに建設的です。

5. ゲーデルの不完全さは、私が見分けられる理由で引き込まれています。Gödelの不完全性は、もも証明できないような文提供します。これは、が証明不可能であることを意味するものではありません（つまり、除外された中間の単純なアプリケーションによって）。また、が成り立つことを意味するわけでもありません。それでは、ここでゲーデルの不完全性はどのように関連していますか？$G$$G$$\lnot G$$G \lor \lnot G$$\lnot G \land \lnot\lnot G$

PS失礼だったサプリメンタルの以前のバージョンをおIびします。

あなたの質問は、「何らかの形式的な論理で形式的な検証を行う場合、論理が一貫していることをどのような保証がありますか」に要約されると思います。答えは「なし」です。それはあなたが仮定しなければならないものです。正式な検証では、すべての仮定が排除されるわけではありません。それは、あなたが仮定していることについてあなたがより明確になるのを助けるだけでなく、合理的と思われる仮定から始めることを確実にするのを助けるかもしれません。

標準的なロジック内で作業する場合、一般的に、ほとんどの人は、たとえその事実の証拠を持っていなくても、ロジックが一貫していると仮定して喜んでいます。論理が実際には矛盾していることをいつか発見するかもしれないことは事実です...しかし、ほとんどの人は、これは非常に可能性が低いと信じています。

ロジックが一貫していることを証明できる場合もありますが、別のより強力なロジックを使用する必要があり、2番目のロジックが一貫していると仮定する必要があるため、まだいくつかの仮定を立てる必要があります（一部のロジックが一貫していると仮定します））。これは、2番目のロジックが一貫している可能性が高いと思われる場合、最初のロジックが一貫している可能性が高いという証拠と見なすことができますが、推論はどこかに底を付けなければなりません。

たとえば、ヒルベルトの2番目の問題と、ZFCの一貫性に関するこの議論（および、これとこれとこれと、おそらくもっと多く）を参照してください。

あなたの投稿が触れている多くの興味深い哲学的ポイントがあります。

ブール論理の一貫性

古典的な論理における証明理論の一貫性の問題は、あなたがそれを理解するほど悲惨ではありません。基本的に次のようになります。

ブール値論理は、真理値1とに対する論理演算関数のコレクションとして定義できます0。しかし、どうやってそれを知るの0≠1でしょうか？

（私は単に2つの真理値の抽象記号としてを使用0し1ていることに注意してください;特に、ここでは整数の概念を仮定していません）

私たちは、もちろん、ありません知っていることを0と1異なっています。しかし、ブール論理はとてつもなく単純なので、この可能性を拒否することは極端なレベルの懐疑論です。

しかし、古典的な命題論理はこれに帰着します。ブール値を任意の方法で原子命題に割り当てることができることを思い出してください。これは、原子命題から構築できるすべての命題に値を割り当てることにまで及びます。

「Pあなたから推測できるQ」という文は、文字通り単なる順序関係です。これは、「原子命題に真理値を割り当てるv(P) ≤ v(Q)すべての関数に当てはまる」という主張と同じことを意味しvます。

命題論理の推論規則はまさに順序付けを扱うための性質です≤。特に、矛盾による証明は、if P ≤ 0、thenの観察ですP = 0。

そして、我々は両方知っていたら...あなたの問題に戻ってP ≤ 0と¬P ≤ 0真理値をプラグインした後、T編を、我々は最終的にそれを締結するでしょう0=1。その真と偽は同じことを意味します。

したがって、「true」と「false」が異なることを意味するという確信がある場合、ブール論理の一貫性についても同様の確信が必要です。

直観主義的論理の矛盾による証明

矛盾による証明は次のように定式化されることに注意する必要があります。

• から矛盾を導き出すことができればP、結論¬P

実際、否定をこのプロパティとの接続詞として完全に定義する場合があります。例えば、ヘイティング代数では、通常P→0を意味するように定義された¬Pが表示されます。

特に、特別な場合に注意してください

• から矛盾を導き出すことができれば¬P、結論¬¬P

「矛盾による証明」と説明したのは、で識別¬¬PすることPです。直観主義の論理は、これらが同等であると仮定しません。

正式な契約としての一貫性

エンコードロジックには、より多くの計算形式があります。型付けされたラムダ計算、従属型、特に「型としての命題」パラダイムを参照してください。

詳細に立ち入ることなく、矛盾は基本的に正式な契約として扱われます。私が呼ぶタイプ0があり、「これらの関数を使用してタイプの要素を構築することはできません」という契約があります0。

そのようなシステムが非常に大胆で関数を構築できる場合T → 0、実際にコントラクトを保持している場合、typeのオブジェクトを構築することも同様に不可能であることを意味しますT。これは、矛盾による証明が意味するものに関する計算上の観点です。

最終的に、これは、たとえば、nullポインターを返さないことを約束するポインターを返すC関数、または例外をスローしないことを約束するC ++関数とあまり変わりません。

そして、古典的な論理に戻って、それが本当に私たちがやっていることです。

「ペアノの公理から、推論の規則では矛盾を導き出すことはできません」などの正式な契約が提供されます。この契約が本当に支持されている場合¬P、矛盾を意味することを示すことができれば、矛盾を示唆するPこともできません。

また、契約に違反する可能性がある場合、「Peanoの公理は矛盾しています」と言うだけです。

正式な声明の真実性を保証するために使用される場合、すべての証明は暗黙的にシステムの一貫性を前提としています。これは、システムに一貫性がない場合、システム全体が壊れ、すべての作業が行われるためですそのシステムでは基本的にゴミです。

システム（または少なくとも複雑なシステム）がそのシステムの範囲内で一貫していることを証明することはできないため、正式に証明可能な真実ではなく、経験的な真実として捉える必要があります。基本的に、数学者が正式なシステムでの作業に長時間費やし、矛盾が発見されなかった場合、それはシステムの一貫性を支持する経験的証拠です。さらに、より強力なシステムを使用して、使用しているシステムの一貫性を証明することもできます（ただし、このより強力なシステムの一貫性はまだ経験的です-バックはどこかで止まります）。

核となるのは、数学の状況は科学の状況と同じです。私たちは、それらの理論について入手可能なすべての情報に基づいて正しいと思われる理論に基づいて数学を構築します。科学のように、理論が正しいことを証明することはできません。間違っていることしか証明できません。

$S$

数学の基礎となる公理のシステムに関係なく、そのシステムの矛盾を発見する危険性が常にあります。これがまさに数学者が数学に新しい公理を導入しない理由です。新しい公理はそれぞれ既に使用されている公理と互換性がない可能性があり、新しい公理を使用するすべての作業を完全に再評価する必要があります。

補遺：特定のシステムに当てはまるステートメントについて話すとき、そのシステムが一貫していれば、そのシステム内で反証できないことを意味します。