一次論理と一次理論の関係は何ですか？

FOTはFOLのサブセットであると思いましたが、FOLは完全であり（すべての数式が有効または無効）、一部のFOT（線形整数演算など）は完全ではないため、そうではないようです。

では、FOLはどのFOTよりも表現力が高いのでしょうか？または比類のないですか？

また、「LIAで有効であるがLIAの公理を使用して証明できないステートメントがある」というステートメントは奇妙です。妥当性を証明できない場合、ステートメントはどのように有効ですか？発言の有効性を証明できない場合、それが有効であると主張することはできないといつも思っていました。

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— アイラット
ソース

「LIAで有効であるが、LIAの公理では証明できない」という記述は誤りだと思います。godelの完全性定理は、有効なステートメントが最終的に有限時間で証明されることを保証します。論理的妥当性と論理的真実を混同していると思います。これらは2つの異なるものです。ゴーデルの完全性定理で使用される完全性の意味と不完全性定理で使用される完全性の意味は同じではありません。

— ロティア

回答:

一次論理は、一次式、一次構造、一次理論など、さまざまな概念を定義する数学的主題です。これらの概念の1つは1次理論です。これは、1次式のセットです。多くの場合、有限数の公理と公理スキームによって生成された1次理論を考慮します。そのような理論は、論理的な派生に関して閉じられており、通常、この条件を満たす理論のみを考慮します。

すべてのステートメントにまたはその否定のいずれかが含まれている場合、1次理論は完全です。すべての理論が完了しているわけではありません。実際、ゲーデルの不完全性定理は、多くの興味深い一次理論が必ずしも不完全であるという事実を強調しています。 $\sigma$ $\sigma$

モデル一次理論のは（私たちは教科書のための正確な定義を残して）理論の有効な解釈です。たとえば、グループの1次理論は、グループの公理から続くすべてのステートメントで構成されます。すべてのグループは、グループの一次理論のモデルです。

与えられたすべてのモデルについて、与えられた文は真または偽のいずれかです。ゲーデルの完全性定理は、1次理論が1次理論のすべてのモデルで真である場合、理論内の有限数の文から証明可能であると述べています。たとえば、すべてのグループに当てはまるグループの言語でのすべての1次ステートメントは、グループの公理から証明できます。

LIAは（おそらく）1次理論であり、ゲーデルの不完全性定理により不完全になるほど興味深いものです。ただし、標準モデル（「真の」整数）では、すべての文が真または偽です。特に、がももLIAに属さないステートメントである場合、またはは真の整数を保持しますが、これはLIAでは証明できません。 $\sigma$ $\sigma$ $\lnot \sigma$ $\sigma$ $\lnot \sigma$

— ユヴァルフィルムス
ソース

「完全な」理論の何が特別なのですか？なぜ彼らは面白いのですか？「もちろん」、完全性の定義は文がすべてのモデルに当てはまるかどうかを尋ねるので、多くの理論は不完全です。不完全性について：「標準整数モデル」では、公理を満たすすべてのモデルを気にしません。「標準整数モデル」は1つだけです。不完全性の定理は、妥当性を定義する方法（特に、公理を満たすすべてのモデルの考慮）が不適切であることを示唆していませんか？

— Ayrat

完全な理論は、すべてのステートメントに明確な真理値を与えるため、特別です。これはあなたが望むものです。あなたの残りの質問は哲学の領域に属しています。とはいえ、ゲーデルの完全性定理は、すべてのモデルの有効性を証明可能性と同等と見なします。

— Yuval Filmus 16

それでも有用性はわかりません-完全なFOLを検討してください。Fが有効かどうかを確認したいとします。FOLの妥当性は半決定的であるため、Fが無効な場合は「完全性」はあまり役に立ちません。私は何かを逃していますか？

— Ayrat

「一次論理が完了しました」という文は、意味がないか、誤りです。

— Yuval Filmus 16

一次理論が一貫した一次文のセットであることは真実ではありません。言うべき正しいことは、一次理論は控除の下で閉じられている一次式のセットです。私は矛盾した理論を完全にうまく定式化することができます。一貫性がないことがわかるまでに数年かかる場合があります。また、理論には、文（閉じた式）だけでなく、式が含まれる場合があります。

— Andrej Bauer

「一次論理」という語句には2つの意味があります。

それはある種の形式システムとそれらに関連するすべてのものを研究する数学的論理の章です。
これは特別な種類の一次理論、つまり空のシグネチャと空の公理のセットによって生成されるものです。

あなたの質問は2番目の意味に言及していますが、これを理解するには、物事を構築する必要があります。

一次論理の言語と呼ばれる特定の正式な言語があります。非公式に言えば、これは変数、等式、、、、、、およびから構築できるものです。このようなものは、一次式と呼ばれます。 $\land$ $\lor$ $\lnot$ $\Rightarrow$ $\forall$ $\exists$
一次論理と呼ばれる特定の形式システムがあり、一次式を証明することの意味を教えてくれます。システムは一連の推論規則として与えられます。
一次理論 $\mathcal{T}$ 次式で与えられます。
- 署名 $\Sigma_{\mathcal{T}}$ 定数、関数記号、及び関連シンボルのセットから構成されています。これらは、1次論理の基本言語の拡張と考えてください。これを言語と呼びます。 $\mathcal{T}$
- 署名によって拡張された言語で記述された演繹的に閉じられた一次式のセット。

式のセットは、一次論理の推論規則を式に適用すると、再び式が得られる場合、演繹的に閉じていると言います。言い換えると、にはその論理的な結果のすべてが含まれています。そのようなセットを作成する一般的な方法は、式選択されたセットから始めて、それに論理的な結果とそれらの結果の結果などをすべて追加します。これは呼ばれる演繹閉鎖の。私たちはしばしば公理の公式を呼び出します。 $S$ $S$ $S$ $S$ $S$ $A$ $A$ $A$

理論は完全な場合とそうでない場合があります。それがここで何を「完全な」手段を知ることは重要ではありませんが、次のことが起こることができることを知っておくことが重要です：私たちは式の二組持つことができますと、そのようなことを、の演繹閉鎖ありますの演繹的閉包は完全な理論ではありません。 $A$ $B$ $A \subseteq B$ $A$ $B$

これであなたの質問に答える準備ができました。してみましょうその署名空とその式の集合が空集合の演繹閉鎖されている説も。LET、その署名ペアノ算術の（一定のことである理論である、単項演算、バイナリ操作および）及び式はペアノの公理の演繹閉鎖されています。それは事実です $T$ $P$ $0$ $S$ $+$ $\times$

$T$ は含まれています（実際、はすべての理論に含まれています）。 $P$ $T$
$T$ は完了です、
$P$ は不完全です。

理論は一般に「一次論理」と呼ばれていますが、これは実際には誤った名称です。一部の人々はもう少し正確であり、それを「一次論理の純粋な理論」と呼んでいます。 $T$

要約すると、あなたの質問は次のことを明らかにしました：

あなたは、「一次論理」が空の公理によって生成された空のシグネチャをもつ理論を参照するかもしれないことを知りませんでした。
私たちがそれを拡張すると、完全な理論は不完全になるかもしれません。
完全性の誤った定義を使用しました。正しい定義は、すべての文またはその否定が理論の定理である場合、理論は完全です。

注意：文は閉じた式です（自由変数を含まない式）。

最後に、妥当性についての質問に答えましょう。

証明があれば公式は証明可能
すべてのモデルでtrueの場合、式は有効です

一次論理に関する基本的なメタ定理は、証明可能なすべての式が有効であることです。逆も成り立ち、ゲーデルの完全性定理として知られています。

ただし、特定の状況では、正当な理由により、意図的に妥当性と証明可能性を誤って組み合わせることがよくあります。たとえば、有限モデルのみに注意を限定すると、証明のない有効なステートメントが存在する可能性があります。なぜそうするのでしょうか？コンピュータサイエンスでは、アルゴリズム上の理由、または特定のクラスのモデルのみに関心があるためと考えられます。

Hあなたは「文が有効であることを知る唯一の方法はそれを証明することです」と言います。これは非公式なレベルの場合にも当てはまるかもしれませんが（神はあなたに同意しないと思います）、そのような有効性の証明は理論の外、メタレベルで発生することに注意してください。実際、有効性を確立するにはすべてのモデルについて話す必要があるため、これは理論の中で実行することを期待するものではありません。

— アンドレイ・バウアー
ソース

あなたはゴデルの完全性定理とゴデルの不完全性定理について混同しているようです。「ゴーデルの不完全性定理」とは、ゴデルの完全性定理を直接否定したもののようです。ゴデルの最初の不完全性定理は、証明も反証もできない文章であり、有効であるが証明できない文章ではありません。

— user2357112はモニカをサポートします

おかげで、説明に何も追加されていないので、そのビットを削除しました。

— Andrej Bauer

@AndrejBauerでは、次の「パラドックス」を「1.は含まれる」で明確にできますか？：以来不完全であり、そこに存在するようにと。ここで「」と尋ねますか？以来（その公理の演繹閉鎖）、そこのいずれかでなければなりませんまたははなく、両方が、そのようなの存在を前提に違反！

T

$T$

P

$P$

P

$P$

s

$s$

s \notin P

$s \not\in P$

\neg s \notin P

$\neg s \not\in P$

s \in T

$s \in T$

T \subset P

$T \subset P$

s \in T

$s \in T$

\neg s \in T

$\neg s \in T$

s

$s$

— Ayrat 2016年

別の質問：証明がない有効なステートメントの例はありますか？

— Ayrat 2016年

マイナーな説明：

空の署名のある理論は空の理論である、つまり閉じた式を含んでいないと考えているかもしれません。不正解です。一次論理により、公理に訴えることなく、トートロジーとして知られる特定の閉じた式を証明できます。これらは、その形式だけが原因で「真」です。そのような意味のあるコンテンツはありません。Godelの完全性定理は、トートロジーのコレクションが完全であると言います。つまり、有効なすべての閉じた式（つまり、「すべてのモデルで真」）は、実際には1次論理で導出できます。 [証明は興味深く、明らかに重要です。]

— PMar
ソース