健全性が一貫性を意味するのはなぜですか？

一貫性と完全性は健全性を意味するという質問を読んでいましたか？そして、その中の最初の文は言う：

健全性は一貫性を意味することを理解しています。

健全性は一貫性よりも弱い表現だと思っていたので、私は非常に困惑していました（つまり、一貫性のあるシステムは健全でなければならないと思っていましたが、それは真実ではないと思います）。一貫性と健全性のために、MITの6.045 / 18.400コースで Scott Aaronsonが使用していた非公式の定義を使用していました。

1. 健全性=証明システムは、証明するすべてのステートメントが実際に真実である場合に証明されます（証明可能なものはすべて真実です）。すなわち、IF（は証明可能）（はTrue）。したがって、IF（式へのパスがあります）THEN（その式はTrueです）$\phi$$\implies$$\phi$
2. 一貫性=一貫性のあるシステムは、決してAとNOT（A）を証明しません。したがって、1つのAまたはその否定のみがTrueになります。

これらの（おそらく非公式の）定義を念頭に置いて、健全ではあるが一貫性のないシステムがあることを示すために、次の例を作成しました。

サウンドシステムだと思った理由は、公理が正しいと仮定するからです。したがって、AではなくAが両方とも当てはまります（はい、除外された中間の法則は含まれていません）。唯一の推論規則は否定であるため、公理からAではなくAの両方に到達し、互いに到達できることがわかります。したがって、このシステムに関してはTrueステートメントのみに到達します。ただし、システム内の唯一のステートメントの否定を証明できるため、もちろんシステムは一貫していません。したがって、サウンドシステムには一貫性がない可能性があることを示しました。この例が間違っているのはなぜですか？私は何を間違えましたか？

私の頭の中でこれは直感的に理にかなっています。健全性とは、推論ルールから始めて公理とクランクを設定すると、真の目的地（ステートメント）にのみ到達するということです。ただし、実際にどの目的地に到着したかはわかりません。ただし、一貫性は、または（両方ではない）に到達する宛先にのみ到達できることを示しています。したがって、すべての一貫したシステムには、公理として除外された中間の法則を含める必要があります。もちろん、私はそうではなく、唯一の公理の否定を他の公理として含めました。だから、私があまりにも賢いことをしたとは思わないが、どういうわけか何かが間違っていますか？¬ $A$$\neg A$

私はスコットの非公式の定義を使用しているため、それが問題になる可能性があることに気づきました。質問を書く前でもウィキペディアをチェックしましたが、その定義は私には意味がありませんでした。特に彼らが言う部分：

システムのセマンティクスに関して

完全な引用は次のとおりです。

システムで証明できるすべての式は、システムのセマンティクスに関して論理的に有効です。

漠然とした、手の波のような説明を超えた形式的なロジックを検討することをお勧めします。それは興味深く、コンピュータサイエンスに非常に関連しています。あいにく、専門用語や専門的な教科書でさえも、特に論理についての狭い焦点は、論理とは何かの歪んだ絵を提示する可能性があります。問題は、ほとんどの場合、数学者が「論理」について話すとき、それらは（しばしば暗黙的に）古典的な命題論理または古典的な一次論理を意味するということです。これらは非常に重要な論理システムですが、論理の幅にはほど遠いものです。いずれにせよ、私が言いたいことは、その狭い文脈で大部分が行われますが、それは特定の文脈で起こっていることを明確にしたいのです。

まず、一貫性の両方を証明していないとして定義されている場合はと¬ Aを私たちのロジックがさえ否定を持っているか、いない場合はどうなるか、$A$$\neg A$$\neg$別の意味？明らかに、この一貫性の概念は、それが動作する論理的コンテキストについていくつかの仮定を行います。通常、これは、古典的な命題論理、または古典的な1次論理などの拡張で動作していることです。古典的な命題/一次論理と呼ばれる公理と規則のリストなど、複数のプレゼンテーションがありますが、私たちの目的では、これは実際には重要ではありません。それらは何らかの適切な意味で同等です。通常、論理システムについて話すときは、（古典的な）一次理論を意味します。これは、特定の関数記号、述語記号、および公理（非論理公理と呼ばれる）を追加する古典的な1次論理の規則と（論理）公理から始まります。これらの一次理論は通常、私たちのものです

次に、健全性は通常、セマンティクスに関する健全性を意味します。一貫性は、私たちが行うことができる形式的な証明に関係する構文上の特性です。健全性は、数式、関数記号、および述語記号を数学的なオブジェクトとステートメントに解釈する方法に関係するセマンティックプロパティです。健全性について話し始めるには、セマンティクス、つまり前述のものの解釈を与える必要があります。繰り返しますが、論理接続詞と論理公理と、関数記号、述語記号、非論理公理との間には分離があります。セマンティクスの観点から、接続詞を接続詞と論理公理に論理公理にするのは、関数記号、述語記号、および非論理公理はそうではないが、セマンティクスによって特別に扱われることです。私が使用する場所$[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$式 φの解釈として。特に、$[\![\varphi]\!]$$\varphi$ここで、 Dはドメインセットです。アイデアは、式が式を満たすドメイン要素（のタプル）のセットとして解釈されるというものです。閉じた式（つまり、自由変数を持たない式）は、そのシングルトンまたは空のセットのみにできるシングルトンセットのサブセットである、ヌルの関係として解釈されます。空のセットとして解釈されない場合、閉じた式は「true」です。健全性とは、上記の意味で、すべての証明可能な（閉じた）式が「真」であるということです。$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$

ここから、私が与えたスケッチからでも、健全性が一貫性を意味することを証明するのは簡単です（古典的な1次論理とスケッチしたセマンティクスのコンテキストで）。論理が正しい場合、すべての証明可能な式は空でない集合として解釈されますが、

健全性と一貫性は演deシステムの特性です。健全性は、演ductiveシステムから独立して与えられると想定されるいくつかのセマンティクスに関してのみ定義できます。

セマンティクスの領域では、2つのプロパティは関連しています

定義1（健全性[セマンティクス]-ウィキペディアから借用）演 ductiveシステムの健全性は、その演 ductiveシステムで証明可能な文が、その理論の対象となる言語の意味論のすべての解釈または構造にも当てはまるという特性ですにもとづいて。

定義2（整合[セマンティクス]）文のセット言語でLは、と言語の構造が存在する場合だけ一致しているLの点で満足のすべての文$A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$。演ductiveシステムは、その中で証明可能なすべての式を満たす構造が存在する場合に一貫しています。

上記の2つの定義により、健全性は一貫性を意味することは明らかです。すなわち、すべての証明可能な文のセットが言語のすべての構造に当てはまる場合、それらを満足する構造が少なくとも1つ存在します。

以来、あなたの証明システムは、どちらの音も一貫性があるない限り、真の命題ではありませんA ≡ ⊤、その場合には、¬ A ≡ ⊥は真の命題ではありません。この議論は、すべての防音システムにも一貫性があることを示しています。$A$$A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

多くの場合、論理システムを思い付くとき、既存の現象を説明しようとする動機があります。たとえば、ペアノ算術は、加算と乗算の演算とともに自然数を公理化する試みです。

健全性は、記述しようとしている現象に関連してのみ定義でき、本質的には、公理と推論ルールが問題の事柄を実際に記述していることを意味します。したがって、たとえば、Peanoの算術は、公理と推論規則が実際に自然数に当てはまるため、適切です。

もちろん、これは、ペアノの定義を超えた「自然数」の概念と、特定の公理セットからこれらの真理を導き出さずに自然数について真か偽かについての概念を持っていることを意味します。それらの真実がどこから来たのか、どのように検証できるのかを説明しようとすると、哲学的な湯に浸ることができます。しかし、自然数があり、それらに関する真の事実のコレクションがあると考えると、公理化プロジェクトは、最も重要なものの多くから簡潔で正式な仕様を考え出すことを単に試みているとみなすことができます真実を導き出すことができます。それから公理化は、それが実際に証明できるすべてが事前に指定された真実のコレクションにある場合、つまり、

（特に、あなたの正式な仕様は、自然数について真実であるすべてを証明するわけではなく、さらに、ペアノの公理が自然数とは異なる他の構造があるため、自然数を一意に説明しないことに注意してくださいまた本当。）

一次論理では、少なくとも、理論はモデルがある場合に限り一貫しています。健全性とは、希望する特定のモデルがあることを意味します。理論で説明しようとした特定の構造は、実際には理論のモデルです。この観点から、健全性が一貫性を意味する理由は明らかです。

$\neg$（PA）が矛盾を証明できないことを意味するため、一貫している必要があります。しかし、それは適切ではありません。PAの公理からの虚偽の証拠をエンコードする自然数が存在すると主張しますが、そうでない場合は「実際の」自然数にそのような数はあり得ません。

PA + （PA）にはモデルがありますが、それらは「余分な」オブジェクト、「非標準の自然数」を含む必要があるモデルであり、問​​題の「証明」をエンコードすると主張するものを含みます。理論には、これらの非標準的な要素を本物の真正なメンバーと区別するために必要なツールが装備されていないだけです$\neg$$\mathbb N$

$\neg$

もう1つ：定義によって公理が真実であるとは想定していません。定義によるすべての公理は、証明の基本的な構成要素にすぎません。それらは単なる主張であり、特定の数学オブジェクトに適用された場合にのみ真または偽になります。あなたのシステムは必然的かつ即座に健全ではなくなるため、誤った公理を持つことができます。

簡潔な（そして直観的な）答えを得るために、スコットアーロンソンが6.045 / 18.400 MIT講義で言ったことを言い換えます。彼はこのようなことを言った：

健全性とは、証明可能なすべてが真実であることを意味します。一貫性とは矛盾がなく、健全性がすでに含まれていることを意味するため、真実の概念には一貫性がなければなりません（つまり、True！= False）。サウンドシステムも一貫している必要があります。したがって、健全性は一貫性を意味します。なぜなら、（真の）真のものには矛盾がないからです。

今、私はいくつかの誤った仮定/アイデアを持っていたことに気づきました：

1. 健全性はセマンティクスに関するものだとは思いませんでした。したがって、公理からの推論規則を使用するだけでは真の結果を導くのに十分ではないことを理解することができませんでした（そして、それを保証するものではなく、公理と有効な推論ルールを使用します）。
2. 公理が真実であり、推論規則が理にかなっている限り、進行するすべてが真実であると思った。公理と推論ルールの巨大なリストがあるだけで、その後に続くすべてが真実であるかどうかを推論するのは難しいので、私は今気づいているかもしれません。つまり、公理から始めて有効な推論規則を使用するだけでは、次のステップが真になることを保証するには十分ではありません。
3. 前述の内容は、1）意味論、2）構文の2つのレベルの複雑さがあることに気付いていなかったという事実と本質的に結びついています。シンボルクランチングゲームをクランキングすると、矛盾が生じる可能性があります。
4. 真実の適切な特徴付けを知らなかったことに私は気づかなかった。それはデレクが特徴付けにおいて素晴らしい仕事をした。