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最近、私はscipyのさまざまな非線形ソルバーを比較しており、Scipy CookbookのNewton-Krylovの例に特に感銘を受けました。約20行のコードで非線形反応項を持つ2階微分方程式方程式を解きます。 半導体ヘテロ構造の非線形ポアソン方程式（ポアソン-ボルツマン方程式とも呼ばれ、これらのノートの17ページを参照）を解くためにサンプルコードを修正しました。 d2ϕdバツ2− k （x ）（ p （x 、ϕ ）− n （x 、ϕ ）+ N+（x ）） = 0d2ϕdバツ2−k（バツ）（p（バツ、ϕ）−n（バツ、ϕ）+N+（バツ））=0 \frac{d^2\phi}{dx^2} - k(x) \left(p(x,\phi) - n(x,\phi) + N^{+}(x)\right) = 0 （これはソルバーに渡される残差関数です。） これは、静電気の問題である及びP （X 、φは）フォームの非線形関数であり、N I（X ）E - （E I（X 、φ ）- E 、F）。ここでの詳細は重要ではありませんが、ポイントは非線形関数がϕで指数関数的に変化するため、残差関数は巨大な範囲（10 − 6 − 10 16）にわたって変化する可能性があることです。n （x 、ϕ ）n（バツ、ϕ）n(x,\phi)p …

16 python  nonlinear-equations  poisson  scipy 

FFTポイズンソルバーの理論上の収束率は？ Iは、ポアソン方程式を解く午前： と N （X 、Y 、Z ）= 3∇2VH（x 、y、z）= - 4 πn （x 、y、z）∇2VH（バツ、y、z）=−4πn（バツ、y、z）\nabla^2 V_H(x, y, z) = -4\pi n(x, y, z) ドメインに[0、2]×[0、2]×[0、2]、周期的境界条件を有します。この電荷密度は正味中立です。溶液は、で与えられる： VH（X）=∫N（n （x 、y、z）= 3π（（x − 1 ）2+ （y− 1 ）2+ （z− 1 ）2− 1 ）n（バツ、y、z）=3π（（バツ−1）2+（y−1）2+（z−1）2−1）n(x, y, z) = {3\over\pi} ((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 - 1)[ …

16 pde  convergence  fourier-analysis  poisson 

有限差分アプローチを使用してポアソン方程式を解くことに興味があります。ノイマン境界条件で行列方程式を書く方法をよりよく理解したいと思います。誰かが以下をレビューしますか、それは正しいですか？ 有限差分行列 ポアソン方程式 ∂2u （x ）∂バツ2= d（ x ）∂2あなたは（バツ）∂バツ2=d（バツ） \frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x) 有限差分行列方程式で近似できます。 1（Δは、xは）2M ∙ u^= d^1（△バツ）2M∙あなたは^=d^ \frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d ここで、は行列で、およびは（列）ベクトルです。 N × N uは dは 1 × NのMM\textbf{M}n × nn×nn \times nあなたは^あなたは^\hat ud^d^\hat d1 × n1×n1 \times n ノイマン境界条件の追加 ノイマン境界条件は、境界で既知のフラックスを強制します（ここでは、境界がである左側に適用します）。x = 0バツ=0x=0 ∂u …

15 finite-difference  boundary-conditions  poisson  banded-matrix 

検討対称正定値三重対角線形システム ここでと。与えられた3個のインデックス我々は間、厳密式のみの行を想定した場合、とホールド、我々は、フォームの方程式を得るために、中間変数を排除することができます 場所。この式は、の値を「外部」の影響とは無関係に関連付けます（たとえば、に影響する制約が導入された場合）。A ∈ R N × N B ∈ R nは 0 ≤ I < J < K < N I kはuがxはIを + VのXのjは + W 、X 、K = C V > 0 、X jのX I、X K X 0A x = bAx=bA x = bA ∈ Rn × nA∈Rn×nA …

11 linear-algebra  poisson 

セル中心の不均一グリッドで有限体積法を使用する場合、ディリクレ条件が通常どのように適用されるかを知りたいのですが、 現在の実装では、最初のセルの値を固定して境界条件を課しています。 φ1= gD（xL）φ1=gD（バツL） \phi_1 = g_D(x_L) ここで、は解変数であり、はドメインのlhsにおけるディリクレ境界条件値です（NB）。ただし、境界条件はセル自体の値ではなくセル面の値を修正する必要があるため、これは正しくありません。私が実際に適用する必要があるのは、G D（XのL）のx L ≡ X 1 / 2φφ\phigD（xL）gD（バツL）g_D(x_L) バツL≡ のx1 / 2バツL≡バツ1/2x_L \equiv x_{1/2} φL= gD（xL）φL=gD（バツL） \phi_{L} = g_D(x_L) たとえば、ポアソン方程式を解いてみましょう。 0 = （ϕバツ）バツ+ ρ （x ）0=（φバツ）バツ+ρ（バツ） 0 = (\phi_x)_x + \rho(x) 初期条件と境界条件で、 ρ = − 1gD（xL）= 0gN（xR）= 0ρ=−1gD（バツL）=0gN（バツR）=0\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0 （ここで、は右側のノイマン境界条件です）。gN（xR）gN（バツR）g_N(x_R) 数値解がセル変数の値を境界条件値（）に固定したことに注目してください。これには、ソリューション全体を上方にシフトする効果があります。多数のメッシュポイントを使用することで影響を最小限に抑えることができますが、これは問題の適切な解決策ではありません。gD（xL）= …

10 boundary-conditions  finite-volume  poisson 

私は最後の数日間このエラーをデバッグしようとしましたが、続行する方法について誰かがアドバイスを持っているかどうか疑問に思いました。 未知のものがセルの中心で定義され、セルの面でフラックスが定義されている不均一な有限体積メッシュ上のステップ電荷分布（静電/半導体物理学における一般的な問題）のポアソン方程式を解きます。 0=(ϕx)x+ρ(x)0=(ϕx)x+ρ(x) 0 = (\phi_x)_x + \rho(x) 電荷プロファイル（ソース項）は、 ρ(x)=⎧⎩⎨−1,1,0,if −1≤x≤0if 0≤x≤1otherwiseρ(x)={−1,if −1≤x≤01,if 0≤x≤10,otherwise \rho(x)= \begin{cases} -1,& \text{if } -1 \leq x \leq 0\\ 1,& \text{if } 0 \leq x \leq 1\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} 境界条件は、 ϕ(xL)=0∂ϕ∂x∣∣∣xR=0ϕ(xL)=0∂ϕ∂x|xR=0 \phi(x_L)=0 \\ \frac{\partial\phi}{\partial x}\bigg|_{x_R}=0 ドメインは、。[−10,10][−10,10][-10,10] 私は移流拡散反応方程式を解くために開発されたコードを使用しています（ここで自分のノートを参照して自分で書きましたhttp://danieljfarrell.github.io/FVM）。移流拡散反応方程式は、ポアソン方程式のより一般的なケースです。実際、移流速度をゼロに設定し、過渡項を削除することで、ポアソン方程式を復元できます。 このコードは、均一、非均一、ランダムグリッドのさまざまな状況でテストされており、常に、移流拡散拡散方程式の合理的なソリューション（http://danieljfarrell.github.io/FVM/examples.html）を生成します。 Ω8Ω8\Omega_8Ω9Ω9\Omega_9 この問題を引き起こしている可能性のあるアイデアは何ですか？離散化に関する詳細情報が役立つかどうか教えてください（この質問にあまり詳細を詰め込みたくありませんでした）。

9 discretization  finite-volume  poisson 

境界条件がすべて1つのタイプである場合、高速フーリエ変換を使用してポアソン問題を解くことができると聞きました。ディリクレの正弦級数、ノイマンの余弦、および周期の両方です。2Dの長方形のドメインを考えて、2つの反対側に周期的な境界条件があり、他の2つにはディリクレ条件があるとします。この問題を効率的に解決するために、高速フーリエ変換を適用できますか？もしそうなら、指数形式は十分ではないでしょうか？そうでない場合、この状況に対してどのソルバーをお勧めしますか？

9 pde  fourier-analysis  boundary-conditions  poisson 

問題文 にジオメトリックマルチグリッドを実装しました。ここで、上の上の単位立方体。左側面、底面、前面のディリクレ境界は0です。上面、右面、背面のノイマン境界はです。- ∇2= f−∇2=f-\nabla^{2}=ff= 3 π24sのI nはπバツ2sのI nはπy2sのI nはπz2f=３π24s私んπバツ2s私んπy2s私んπz2f=\frac{3\pi^{2}}{4}sin \frac{\pi x}{2} sin \frac{\pi y}{2} sin \frac{\pi z}{2}Ω ∈ [ 0 、1 ]Ω∈[0、1]\Omega \in [0,1]∂あなた∂ん= 0∂あなた∂ん=0\frac{\partial u }{\partial n} = 0 方法 方程式を解くためにマルチグリッド法が使用されます。中央差分式を使用して、ノイマン境界のゴーストポイントを近似します。 メソッドの概要（コメントから、作成者が確認）：細かいメッシュ（解決する方程式の最終メッシュ）から開始し、粗いメッシュに進んで修正を計算し、マルチグリッドの最後に伝播して滑らかにします。手順。 観察 問題は、最も粗いグリッドを修正して（たとえば16x16x16）、細かいグリッドサイズを大きくするためにVサイクルを測定すると、Vサイクルが一定にならないことです。私は本で読んマルチグリッドによってTrottenbergら。al。Neumann境界での誤ったスケーリングを防ぐために、変更されたFull Weighted制限演算子を使用する必要があることに注意してください。さらに、私は本に記載されているこの変更された完全な制限演算子を理解できません。 ディリクレとノイマンの混合問題を実装した別の例では、ディリクレ境界でで、収束にこの変更された演算子を使用する必要はありませんでした（最も粗いグリッドと最も細かいグリッドを増やしても、Vサイクルは一定のままでした）。- ∇2= 0−∇2=0-\nabla^{2}=0u = 1 + x + y+ zあなた=1+バツ+y+zu = 1 + x …

8 poisson  multigrid  elliptic-pde