有限体積法によるポアソン方程式へのディリクレ境界条件の適用

セル中心の不均一グリッドで有限体積法を使用する場合、ディリクレ条件が通常どのように適用されるかを知りたいのですが、

現在の実装では、最初のセルの値を固定して境界条件を課しています。

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

ここで、は解変数であり、はドメインのlhsにおけるディリクレ境界条件値です（NB）。ただし、境界条件はセル自体の値ではなくセル面の値を修正する必要があるため、これは正しくありません。私が実際に適用する必要があるのは、G D（XのL）のx L ≡ X 1 /$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

たとえば、ポアソン方程式を解いてみましょう。

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

初期条件と境界条件で、

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

（ここで、は右側のノイマン境界条件です）。$g_N(x_R)$

数値解がセル変数の値を境界条件値（）に固定したことに注目してください。これには、ソリューション全体を上方にシフトする効果があります。多数のメッシュポイントを使用することで影響を最小限に抑えることができますが、これは問題の適切な解決策ではありません。$g_D(x_L)=0$

質問

有限体積法を使用する場合、ディリクレ境界条件はどのように適用されますか？（ゴーストポイント）またはを使用して内挿または外挿しての値を修正し、これらのポイントを通る直線が目的の値になるようにする必要があるとます。不均一なセル中心のメッシュに対してこれを行う方法のガイダンスまたは例を提供できますか？ϕ 0 ϕ 2 x $\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

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更新

これが、あなたが提案したゴーストセルアプローチを使用する私の試みですが、それは妥当に見えますか？

細胞に対する式（ここでFはフラックス表すφを）、$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

ゴーストセルΩ0を使用して、境界条件の観点からを記述する必要があります。$\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

しかし、最終的には方程式から項を削除する必要があります。これを行うには、セルの中心からセル中心への線形補間である2番目の方程式をます。便利なことに、この線はを通過するため、これがディリクレ条件が離散化される方法です（この時点での値は）。Ω 0 Ω 1 X L G D（XのL$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

式1および2を組み合わせ、我々は排除することができるとするための表現を見つけるの点でφ 1及びG D（XのLが）、F$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

ゴーストセルのボリュームを自由に選択できるとすると、を設定して、$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

細胞があればこれをさらに簡略化することができとΩ 1は、同じボリュームあるし、我々が設定できる時間- → H 1は、最終的に与え、$\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

しかし、このアプローチは不安定な定義を回復しているので、どうすればよいかわかりませんか？私はあなたのアドバイスを間違って解釈しましたか（@Jan）？奇妙なことに、それはうまくいくようです、以下を見てください、

以下を参照してください、それは動作します、

ディリクレBCと楕円問題のFVMの離散化の安定性分析では、中央の仮定は、あるインナーすなわち、あなたはPDEを述べる細胞は、境界とは交点を持たない でのセットとして見た場合に R のn - 1であれば、あなたのドメイン Ω ⊂ R nは例えば、参照、[著書グロスマン＆ルース、P。92]

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

したがって、セットアップ内の場合、アプローチ は不安定であり、これは既知の安定性の結果と矛盾しません。編集：ゴーストセルとそれに線形補間を使用して、ボリュームと距離の特定の選択に対して、フラックスとして（∗ ∗ ）を取得します。したがって、（∗ ∗ ）は確かに安定したスキームです。

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

ポアソン問題の（離散最大ノルムの1次の）安定性と収束は、グリッドのGrossmann＆Roosによって証明されています。1Dケースの私の図面に示されているように、実際の境界に「中心」を持つ明確な境界セルがあります。

ここでは、インターフェイスの微分商は簡単な方法で概算されます。

2つの理由から、ゴーストセルが一般的なアプローチと言えます。

• 彼らは私の図面に記載されている安定した状況を模倣していますが、補間された境界条件があります
• それらは単に物理的な境界に接続されます。したがって、ドメインの三角測量を使用できます。これは、インターフェースに直接課せられる自然なBCもしばしばあるためです（Grossmann＆Roos、p。101]。

$\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

ここで見つけているのは、有限体積がディリクレ条件をもたらす楕円方程式に頻繁に使用されない理由です。それらは、より自然な条件がフラックスの観点から述べられている保全法則に使用されます。

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

$(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

もちろん、チェックする必要がある1つのことは、境界での2次近似による離散化の安定性です。私の頭の上から、それが内部の中央に配置された2次近似と組み合わされて安定するかどうかはわかりません。マトリックス安定性分析は確かにあなたに教えてくれます。（境界での一次近似が安定することはほぼ確実です。）

あなたはゴーストポイントを使用する可能性について言及しています。これは、内部からゴーストポイントに外挿し、プロセスでbcを使用する必要があるという問題につながります。少なくともいくつかのゴーストポイント処理は、上記で概説した種類のアプローチを使用することと同等であると思いますが、「証明」していません。

これが少し役に立てば幸いです。