有限体積法によるポアソン方程式へのディリクレ境界条件の適用


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セル中心の不均一グリッドで有限体積法を使用する場合、ディリクレ条件が通常どのように適用されるかを知りたいのですが、

セルの中央グリッドの左側。

現在の実装では、最初のセルの値を固定して境界条件を課しています。

φ1=gDバツL

ここで、は解変数であり、はドメインのlhsにおけるディリクレ境界条件値です(NB)。ただし、境界条件はセル自体の値ではなくセル面の値を修正する必要があるため、これは正しくありません。私が実際に適用する必要があるのは、G DXのLのx LX 1 / 2φgDバツL バツLバツ1/2

φL=gDバツL

たとえば、ポアソン方程式を解いてみましょう。

0=φバツバツ+ρバツ

初期条件と境界条件で、

ρ=1gDバツL=0gNバツR=0

(ここで、は右側のノイマン境界条件です)。gNバツR

ポアソン方程式の数値解

数値解がセル変数の値を境界条件値()に固定したことに注目してください。これには、ソリューション全体を上方にシフトする効果があります。多数のメッシュポイントを使用することで影響を最小限に抑えることができますが、これは問題の適切な解決策ではありません。gDバツL=0

質問

有限体積法を使用する場合、ディリクレ境界条件はどのように適用されますか?(ゴーストポイント)またはを使用して内挿または外挿しての値を修正し、これらのポイントを通る直線が目的の値になるようにする必要があるとます。不均一なセル中心のメッシュに対してこれを行う方法のガイダンスまたは例を提供できますか?ϕ 0 ϕ 2 x Lφ1φ0φ2バツL


更新

これが、あなたが提案したゴーストセルアプローチを使用する私の試みですが、それは妥当に見えますか?

細胞に対する式(ここでFはフラックス表すφを)、Ω1Fφ

F/2FL=ρ¯

ゴーストセルΩ0を使用して、境界条件の観点からを記述する必要がありますFLΩ0

FL=φ1φ0h[1]

しかし、最終的には方程式から項を削除する必要があります。これを行うには、セルの中心からセル中心への線形補間である2番目の方程式をます。便利なことに、この線はを通過するため、これがディリクレ条件が離散化される方法です(この時点での値は)。Ω 0 Ω 1 X L G DXのLφ0Ω0Ω1バツLgDバツL

gDバツL=h12hφ0+h02hφ1[2]

式1および2を組み合わせ、我々は排除することができるとするための表現を見つけるの点でφ 1及びG DXのLがF Lφ0FLφ1gDバツL

FL=1hφ11h12gDhh1φ1

ゴーストセルのボリュームを自由に選択できるとすると、を設定して、h0h1

FL=2gDh1+2φ1h

細胞があればこれをさらに簡略化することができΩ 1は、同じボリュームあるし、我々が設定できる時間-H 1は、最終的に与え、Ω0Ω1hh1

FL=2h1φ1gD

しかし、このアプローチは不安定な定義を回復しているので、どうすればよいかわかりませんか?私はあなたのアドバイスを間違って解釈しましたか(@Jan)?奇妙なことに、それはうまくいくようです、以下を見てください、

以下を参照してください、それは動作します、

更新された計算、新しいアプローチは分析的アプローチと非常によく一致しています。


そうです、あなたの導出は正しいです。そしてそれは本当に私の答えで私が呼んだもの(**)に似ています。したがって、安定していることが証明されています。回答にコメントを追加します。
2013

また、一般的な注意として、安定性の結果は通常、十分な条件です。つまり、スキームが条件を満たさない場合、状況によっては、信頼できる結果が得られる可能性があります。

回答:


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ディリクレBCと楕円問題のFVMの離散化の安定性分析では、中央の仮定は、あるインナーすなわち、あなたはPDEを述べる細胞は、境界とは交点を持たない でのセットとして見た場合に R のn - 1であれば、あなたのドメイン Ω R nは例えば、参照、[著書グロスマン&ルース、P。92]

Ω¯ΓD=0
R1ΩR

したがって、セットアップ内の場合、アプローチ は不安定であり、これは既知の安定性の結果と矛盾しません編集:ゴーストセルとそれに線形補間を使用して、ボリュームと距離の特定の選択に対して、フラックスとしてを取得します。したがって、は確かに安定したスキームです。

dφdバツ1/2=2h1φ1φ1/2

ポアソン問題の(離散最大ノルムの1次の)安定性と収束は、グリッドのGrossmann&Roosによって証明されています。1Dケースの私の図面に示されているように、実際の境界に「中心」を持つ明確な境界セルがあります。 ここに画像の説明を入力してください

ここでは、インターフェイスの微分商は簡単な方法で概算されます。

2つの理由から、ゴーストセルが一般的なアプローチと言えます。

  • 彼らは私の図面に記載されている安定した状況を模倣していますが、補間された境界条件があります
  • それらは単に物理的な境界に接続されます。したがって、ドメインの三角測量を使用できます。これは、インターフェースに直接課せられる自然なBCもしばしばあるためです(Grossmann&Roos、p。101]。

φ0φ0φ1gD


Janさん、ありがとうございます。それは確かに不安定な特定のアプローチでの私の経験を模倣するでしょう。ゴーストセルアプローチを使用する場合、中央が境界上になるように最後のセルをシフトする必要はありませんか?境界セルをシフトするという概念にも問題があります。そのセルの体積がゼロであることを意味しているのではないですか?
boyfarrell 2013

hΓ

hΓ0φ1φ0

このアプローチでゴーストセルの値への依存を取り除くことはできますか?方程式に含めないください。境界条件を記述するためのツールを使用しただけだと思います。「シフトされた」境界セルについて。その点は有限体積法ではなく有限差分を使用しているようです。それは正確でしょうか?
boyfarrell 2013

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わかりました!ありがとうございました。タイプミスがあります。2番目の段落では、「したがって、セットアップで[アプローチ]が不安定な場合、これは既知の安定性の結果と矛盾しません。」「何が」あってはならない「で」。これは文の意味を反転させ、あなたが望むものの反対を意味します(私は思う)!
boyfarrell 2013

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φ1φ2φ1バツ2バツ1バツ1バツ0=0バツ0バツφφ1φ2φ1

ここで見つけているのは、有限体積がディリクレ条件をもたらす楕円方程式に頻繁に使用されない理由です。それらは、より自然な条件がフラックスの観点から述べられている保全法則に使用されます。


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d2φdバツ2=f
dφdバツ/2dφdバツ1/2=バツ1/2バツ/2fdバツ
dφdバツ/2=φ2φ1h+

dφ/dバツ1/2φ1/2バツ1/2バツ1バツ2h

dφdバツ1/2=1h1φ2+φ18φ1/2
dφdバツ1/2=2h1φ1φ1/2

もちろん、チェックする必要がある1つのことは、境界での2次近似による離散化の安定性です。私の頭の上から、それが内部の中央に配置された2次近似と組み合わされて安定するかどうかはわかりません。マトリックス安定性分析は確かにあなたに教えてくれます。(境界での一次近似が安定することはほぼ確実です。)

あなたはゴーストポイントを使用する可能性について言及しています。これは、内部からゴーストポイントに外挿し、プロセスでbcを使用する必要があるという問題につながります。少なくともいくつかのゴーストポイント処理は、上記で概説した種類のアプローチを使用することと同等であると思いますが、「証明」していません。

これが少し役に立てば幸いです。


こんにちはブライアン。フラックス形式を使用して(つまり弱く)ディリクレ境界条件を適用することは可能だとは思いませんでした。実際、数か月前にscicomp.stackexchange.com/questions/7777/でその質問をしました。当時、このようなものを実装しようとしましたが、何らかの理由で、実装が不安定で常に失敗しました。ポアソン方程式にディリクレ条件が適用されるリファレンスを知っていますか、私は標準が何であるか知りたいです。多分これは楕円方程式では行われませんか?
boyfarrell 2013

標準については知りませんが、そのような実装がすべて不安定であるとは思えません。マトリックス分析を試しましたか?この場合、実行するのは非常に簡単でなければなりません。人々は、ゴーストポイント処理と上記のような処理でナビエストークス方程式を解きます。(もちろん、粘性効果はポアソン方程式を優れたモデルと見なすことができるほどには支配的ではありません。)おそらくこれらの参照が役立ちます:ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/ …および nas.nasa.gov/assets/pdf/techreports/1997/nas-97-011.pdf
Brian Zatapatique 2013

こんにちはブライアン。いいえ、マトリックス分析は試していません。正直なところ、どうすればいいのかよくわかりません。来週この問題を再検討する時間があるので、新しい質問を投稿します。
boyfarrell 2013

私の理解は、ゴーストポイント(二次)外挿は、不規則な(湾曲した)ディリクレ境界条件の古典的なShortley-Weller 有限差分離散化と同等になることでもあります(たとえば、モートンのp74および偏微分方程式のマイヤー数値解(2nd版)。(線形外挿バージョンはGibouらの簡単な方法に相当するsciencedirect.com/science/article/pii/S0021999101969773また):線形および二次extrapolants両方が2次正確な解を与えるが、唯一の1次勾配を線形。
2015年
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