ノイマン境界条件でポアソン方程式有限差分行列を書く

有限差分アプローチを使用してポアソン方程式を解くことに興味があります。ノイマン境界条件で行列方程式を書く方法をよりよく理解したいと思います。誰かが以下をレビューしますか、それは正しいですか？

有限差分行列

ポアソン方程式

$$\frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x)$$

有限差分行列方程式で近似できます。

$$\frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat u = \hat d$$

ここで、は行列で、およびは（列）ベクトルです。 N × N uは dは 1 × $\textbf{M}$$n \times n$$\hat u$$\hat d$$1 \times n$

ノイマン境界条件の追加

ノイマン境界条件は、境界で既知のフラックスを強制します（ここでは、境界がである左側に適用します）。$x=0$

$$\frac{\partial u(x=0)}{\partial x} = \sigma$$ 、この境界条件を中心有限差分として記述し、

NB。私はもともとここでエラーを犯し、エラーに署名しましたが、2で割っていませんでした。以下が修正されました。

$$\frac{u_2 - u_0}{2\Delta x} = \sigma$$

元のドメイン（）の外側にメッシュポイントが導入されていることに注意してください。この項は、2番目の式導入することで除去できます。 $u_0$

$$\frac{u_0 - 2u_1 + u_2}{(\Delta x)^2} = d_1$$

この方程式は、新しいメッシュポイントの導入により、より多くの情報を取得することから生まれます。これにより、中心にある有限を使用して、二重導関数を境界として記述できます。$u_1$$u_0$

わからない部分

これらの2つの式を組み合わせてできます。動作を示すために、まず未知のものを整理し、$u_0$

$$u_0 = -2\sigma\Delta x + u_2 \\ u_0 = (\Delta x)^2 d_1 + 2 u_1 - u_2$$

次に、それらは等しく設定され、フォームに再配置されます。

$$\frac{u_2 - u_1}{(\Delta x)^2} = \frac{d_1}{2} + \frac{\sigma}{\Delta x}$$

上記の行列方程式と同じ形式であるため、この形式を選択しました。項は、ここと元の方程式の両方で除算されることに注意してください。これは正しいアプローチですか？$u$$(\Delta x)^2$

最後に、この方程式を行列の最初の行として使用して、

いくつかの最終的な考え、

1. この最終マトリックスは正しいですか？
2. より良いアプローチを使用できましたか？
3. このマトリックスを記述する標準的な方法はありますか？

あなたは正しい道にいると思います。エラーを修正すると、http：//www.math.toronto.edu/mpugh/Teaching/Mat1062/notes2.pdfに非常に似たものになります。

を除去できることを確認するための素晴らしい観察。 $u_0$

一歩下がって問題について考えます。ラプラス方程式を指定すると、基本的に各点はその近傍の平均であると述べられます。これは一般的にゴムシートとして視覚化されており、これらのことを考えるのに役立ちます。（ポアソンは、伸縮性のある点がほぼ同じです）

最も外側のエッジでソリューションサーフェスの値を指定すると、これらのポイントの空間でシートが「固定」されます。エッジで導関数によってシートを指定すると、同じ実際の形状、したがって導関数を維持しながら、空間でシートを平行移動する方程式を満たすソリューションがいくつもあります。

しかし、実用的な意味では、これは面倒です。行列は悪条件であり、ソルバーは予測不能に動作します。私が見た最も一般的なことは、またはソリューション空間に関連する定数を指定することによって、ソリューションを固定ポイントに単に「固定」することです。 $u_0 = 0$