不均一メッシュ（1Dのみ）有限体積法でポアソン方程式を解くときの固有のエラー

私は最後の数日間このエラーをデバッグしようとしましたが、続行する方法について誰かがアドバイスを持っているかどうか疑問に思いました。

未知のものがセルの中心で定義され、セルの面でフラックスが定義されている不均一な有限体積メッシュ上のステップ電荷分布（静電/半導体物理学における一般的な問題）のポアソン方程式を解きます。

0 = (ϕ_{x})_{x} + ρ (x)

$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$

電荷プロファイル（ソース項）は、

ρ (x) = {\begin{cases} - 1, & if - 1 \leq x \leq 0 \\ 1, & if 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\rho(x)= \begin{cases} -1,& \text{if } -1 \leq x \leq 0\\ 1,& \text{if } 0 \leq x \leq 1\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

境界条件は、

ϕ (x_{L}) = 0 \frac{\partial ϕ}{\partial x} |_{x_{R}} = 0

$\phi(x_L)=0 \\ \frac{\partial\phi}{\partial x}\bigg|_{x_R}=0$

ドメインは、。 $[-10,10]$

私は移流拡散反応方程式を解くために開発されたコードを使用しています（ここで自分のノートを参照して自分で書きましたhttp://danieljfarrell.github.io/FVM）。移流拡散反応方程式は、ポアソン方程式のより一般的なケースです。実際、移流速度をゼロに設定し、過渡項を削除することで、ポアソン方程式を復元できます。

このコードは、均一、非均一、ランダムグリッドのさまざまな状況でテストされており、常に、移流拡散拡散方程式の合理的なソリューション（http://danieljfarrell.github.io/FVM/examples.html）を生成します。

$\Omega_8$ $\Omega_9$

この問題を引き起こしている可能性のあるアイデアは何ですか？離散化に関する詳細情報が役立つかどうか教えてください（この質問にあまり詳細を詰め込みたくありませんでした）。

ポアソン方程式を解くときの特有のエラー

discretization finite-volume poisson

— 少年ファレル
ソース

x = 0

$x=0$

ρ = - 1

$\rho = -1$

反応項はどのように見えますか？

— 1

ソース項の積分を近似するためにどのスキームを使用していますか？この動作は、ソースのサンプリングが不十分であることによっても発生する可能性があります。（おそらく、@ JLCの回答で述べられているのと同じメカニズムです。）

— Jan

ρ

$\rho$

ρ

$\rho$

@JLCディリクレBCはゴーストセルアプローチを使用して課されます（オンラインでの私のメモはこの実装の詳細については古くなっています）。その方法については、scicomp.stackexchange.com

— questions / 8538 /

回答:

余談ですが、githubのドキュメントは素晴らしいです。

これはDGメソッドからの推測にすぎません。数値フラックスを慎重に選択しないと、同様の問題が発生する可能性があります（FVメソッドはDGメソッドのサブセットです）。フラックスを定義するためにセルの中心からの補間を使用している場合、これはDGで数値フラックスとして平均を使用し、区分的に一定の基準を使用することと同等でなければなりません。ポアソンの標準的なDGメソッドの場合、これは数値的に一意でないソリューションにつながります-離散演算子の重要なヌルスペースを取得できます。これが2番目の例で問題を引き起こしている原因だと思います。DG側からの理論については、このDGペーパーを参照してください。

これがどのように機能するかを示すFVの例をモックアップしてみます。

$\rho(x) = 0$ $f(x_{20}) = 0$ $f(x_{19}) = \ldots = f(x_{11}) = 0$ $\phi(x)$

$f(x_{i+1})-f(x_i) = 0$ $f(-10) = 0$ $f(-10) = \phi_{9.5} - \phi_{\rm ghost} = \phi_{9.5}$ $f(x_i) = f(-10) = \phi_{9.5}$

$f(10)$ $\phi(9.5)$

$x=-10$

— ジェシー・チャン
ソース

実験から、ソース関数の不連続性（符号の変化）のどちらかの側のセルのボリュームが等しい場合にのみ、FVMメソッドが安定していることを実証できます。あなたの分析はこれに同意しますか？これは、以前に行った問題の賢明なグリッドの生成にもっと注意を払う必要があることを意味します。次にFEM法を学ぶことを検討すべきでしょうか？

— boyfarrell 2013

詳細については詳しくは説明していませんが、関連する記事jstor.org/discover/10.2307/2157873

— boyfarrell

FVMメソッドは、グリッドがソース関数と何らかの形で整列している場合にのみ、この場合に安定します。ソース関数が変更された場合は、グリッドを再度調整する必要があります。賢明なグリッドを生成することはこの問題への正しいアプローチではないと思います-あなたは不安定な方法を持っています。

— Jesse Chan

それは良い発見です。Suliは堅実なアナリストです。FEMを学ぶのは楽しいかもしれませんが、FDは楕円1Dの問題でも機能するはずです。また、一般的なグリッドで2次楕円問題の収束を得るために、FV関係者が何をするか（多分ペナルティ項でフラックスを増強する）を見るかもしれません。数学的知識では、FV /風上FDは双曲問題に最適であり、FEM /中央差分FDは楕円に最適であると通常言われています。

— ジェシーチャン

私はこの問題を修正しています。あなたの答えをもう一度読んで私はそれが素晴らしいと言わなければなりません！グリッドではなく問題の根本なので、メソッドを変更する必要があるというのがあなたの見解です。この場合の流束をよりよく近似する方法について、私が従うことができる（専門家ではない人にも助言できる）提案やことはありますか？すなわち、それをより安定させるかもしれない方法で。可能であれば、この方程式に適したFVMを見つけたいと思います。

— boyfarrell 2013年

最初に気づくのは、境界条件です。勾配と値を変更できるため、ディリクレ条件もノイマン条件もありません。

次に、すべての直線は、右側がゼロである解です。あなたはその部分を得ました。

$h$ $h$

— グイドカンシャット
ソース

ρ \equiv 0

$\rho \equiv 0$

ϕ \equiv 0

$\phi \equiv 0$