一定の粗いグリッドサイズと細かいグリッドサイズの増加のためのVサイクルの増加

問題文

にジオメトリックマルチグリッドを実装しました。ここで、上の上の単位立方体。左側面、底面、前面のディリクレ境界は0です。上面、右面、背面のノイマン境界はです。$-\nabla^{2}=f$$f=\frac{3\pi^{2}}{4}sin \frac{\pi x}{2} sin \frac{\pi y}{2} sin \frac{\pi z}{2}$$\Omega \in [0,1]$$\frac{\partial u }{\partial n} = 0$

方法

方程式を解くためにマルチグリッド法が使用されます。中央差分式を使用して、ノイマン境界のゴーストポイントを近似します。

メソッドの概要（コメントから、作成者が確認）：細かいメッシュ（解決する方程式の最終メッシュ）から開始し、粗いメッシュに進んで修正を計算し、マルチグリッドの最後に伝播して滑らかにします。手順。

観察

問題は、最も粗いグリッドを修正して（たとえば16x16x16）、細かいグリッドサイズを大きくするためにVサイクルを測定すると、Vサイクルが一定にならないことです。私は本で読んマルチグリッドによってTrottenbergら。al。Neumann境界での誤ったスケーリングを防ぐために、変更されたFull Weighted制限演算子を使用する必要があることに注意してください。さらに、私は本に記載されているこの変更された完全な制限演算子を理解できません。

ディリクレとノイマンの混合問題を実装した別の例では、ディリクレ境界でで、収束にこの変更された演算子を使用する必要はありませんでした（最も粗いグリッドと最も細かいグリッドを増やしても、Vサイクルは一定のままでした）。$-\nabla^{2}=0$$u = 1 + x + y + z$

質問

「変更された全加重制限」が収束率の低下を引き起こしている可能性はありますか？

提案/説明してください。

最初の推測では、ノイマン境界の近くに大きな残差が生成される可能性があります。制限方法によっては、この残差が希望どおりに減少しない場合があります。

私がしようとしているのは、Vサイクルの代わりにFMGサイクルを使用することです。FMGサイクルは最も粗いグリッドから始まるため、ノイマン境界条件の近くでより細かいレベルで妥当な推測が行われます。私の経験では、FMGはノイマン境界条件で正常に機能します。