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Galerkin法で境界条件を組み込む方法
私はPDEを解くためのGalerkinの方法に関するウェブ上のいくつかのリソースを読んでいますが、何かについて明確ではありません。以下は、私が理解したことに関する私自身の説明です。 次の境界値問題（BVP）を検討してください。 L[u(x,y)]=0on(x,y)∈Ω,S[u]=0on(x,y)∈∂ΩL[u(x,y)]=0on(x,y)∈Ω,S[u]=0on(x,y)∈∂ΩL[u(x,y)]=0 \quad \text{on}\quad (x,y)\in\Omega, \qquad S[u]=0 \quad \text{on} \quad (x,y)\in\partial\Omega ここで、LLL微分演算子線形2次であり、Ω⊂R2Ω⊂R2\Omega\subset\mathbb{R}^2、BVPのドメインである∂Ω∂Ω\partial\Omegaドメインの境界であり、そしてSSS微分演算子線形1次です。次の形式の近似としてu(x,y)u(x,y)u(x,y)を期待します。 u(x,y)≈∑i=1Naigi(x,y)u(x,y)≈∑i=1Naigi(x,y)u(x,y)\approx \sum_{i=1}^N a_i g_i(x,y) ここで、はuを近似するために使用する関数のセットです。BVPに置き換える：gigig_iuuu ∑iaiL[gi(x,y)]=R(a1,...,aN,x,y)∑iaiL[gi(x,y)]=R(a1,...,aN,x,y)\sum_i a_i L[g_i(x,y)]=R(a_1,...,a_N,x,y) 近似は正確ではないため、残差は正確にゼロではありません。ガラーキン-リッツローリー法では、最小R必要とすることによって機能を近似のセットに対しての⟨ R 、G 、I ⟩ = 0。したがってRRRRRR⟨R,gi⟩=0⟨R,gi⟩=0\langle R,g_i \rangle = 0 ⟨R,gi⟩=∑j=1Naj⟨L[gj],gi⟩=0⟨R,gi⟩=∑j=1Naj⟨L[gj],gi⟩=0\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0 したがって、係数を見つけるには、行列方程式を解く必要があります。aiaia_i ⎛⎝⎜⟨L[g1],g1⟩…⟨L[g1],gN⟩………⟨L[gN],g1⟩…⟨L[gN],gN⟩⎞⎠⎟⎛⎝⎜a1…aN⎞⎠⎟=0(⟨L[g1],g1⟩…⟨L[gN],g1⟩………⟨L[g1],gN⟩…⟨L[gN],gN⟩)(a1…aN)=0\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots …