形状関数の基本的な説明

私は、学部課程で行っていた方法と比較して、より構造化された方法でFEMの研究を始めました。私がこれを行っているのは、商用（およびその他の非商用）ソフトウェアで「FEM」を使用できるという事実にもかかわらず、この方法をサポートするアンダーグラウンドテクニックを本当に理解したいからです。だからこそ、少なくともこのテクニックの経験豊富なユーザーにとっては、基本的な質問があります。

今、私はZienkwiczの「Finite element method- The basics」という非常に人気のある（エンジニアに優しい）本を読んでいます。私はこの本を最初のページから読んでいますが、Zienkwiczが説明するように形状関数の概念をまだ理解できません。

私が読んだことから私が知っていることは、「剛性」行列、未知数と結果（ in：A k = b）を関連付ける行列は、「ノード間の関係」からの成分を持っているということです。 、およびその「関係」が変更された場合（つまり、高次の補間に変更した場合）、ノード間の関係が変更されるため、その剛性マトリックスが変更されます。$A$$Ak=b$

しかし、この本では、定義はかなり曖昧です。ある時点で、関数を恒等行列として任意に選択できると言っているからです。

私が見つけた唯一の説明はこのブログにありますが、それは私にとってまだ明確ではありません。だから、誰かが私にシェイプ関数とは何か、そしてそれがスティフネスマトリックスに「置く」ためにどのように行われるかについて簡単な説明をすることができますか？

私は常に、離散線形システムに焦点を合わせ、後方に不必要に混乱させる有限要素法を記述するアプローチを見つけました。最初に少し数学的な表記法が含まれている場合でも、逆方向に進む方がはるかに明確です（これは最小限に抑えるようにします）。

$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$）、次いで、三角測量の各要素に基底関数にこれらの基底関数をマッピングするアフィン変換を使用して。$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

構造力学におけるFEMへの工学的アプローチでは、それがどのように提示されるか、偏微分方程式を解いているという感覚を失います。

彼らはあなたにこれらのマトリックスを示し、物理的な意味を付け加えます。そして、私の意見では、これはあなたがフィールドの疑わしい物理的直観を開発することにつながります。

ジオメトリという用語の主題について考えると役立つ場合があります。PDEの境界値問題の解決策は何らかの形です。VI Arnol'dはかつて、この分野におけるニュートンの業績を賞賛すると言い換えました-自然科学の問題を平面の曲線と空間の表面の幾何学的問題に再定式化することにより微分方程式の分野を作成することにより、素晴らしいことをしました。

FEMでは解を近似します（FDおよびFVMでは支配方程式を近似します）。

ボリス・グリゴリエビッチ・ガラーキンに入る。BG Galerkinは何と言いましたか？

彼は言った：「私はあなたに、同じ基底関数で残差を作れないようにしてほしい、あなたは解を作成するために使った。」

（PSこの話は完全に真実ではないので、読者に（Bubnov-）ガラーキン法のより良い説明があればそれを見つけるようにお願いします。）

基底関数、または試用関数は、ソリューションの構築に使用する関数です。これらを使用して、解の形状を近似します。

$Ku=f$

$Ku=f$

「形状関数」について知っておくべき最も重要なことは、計算する従属変数（変位など）が要素の空間座標（xおよびy）の関数としてどのように変化するかを記述することです。いくつかの未知のスカラーパラメーター。

多くの場合、形状関数は単純な多項式であり、スカラーパラメーターは要素ノードの従属変数の値です。

これらの形状関数を使用して有限要素方程式を形成するには、解こうとしている偏微分方程式の「弱い形式」を確立するなど、いくつかの他の基本概念が必要です。

有限要素法には不必要な「神秘主義」がたくさんありますので、基本を完全に理解しようとするあなたのアプローチをお勧めします。

私の見解は、http：//www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.htmlの講義4 です。特に、有限要素法を使用する際に通常使用する帽子関数を選択する理由についてのアイデアを提供します。つまり、他の多くの基底関数の選択があったとしても、スパースの重要な概念につながるためです同様に有効。

すべての要素は、一般化係数と独立変数（x、y、z）の観点からフィールド変数（従属変数）の変動を表す変位モデルに関連付けられています。例：1D u（x）= a0 + a1x for 2 noded linear 3ノードの2次要素の場合、要素u（x）= a0 + a1x + a3x ^ 2など。ここでai sは一般化係数です。次に、ai sを削除し、フィールド変数の形状関数とノード値の観点からフィールド変数の変動を表現します。例：u（x）= N1 u1 + N2 u2フィールド変数の変化をフィールド変数のノード値に関連付ける関数は、「シェイプ関数」と呼ばれます。形状関数の数は、ノードの数とノードごとの変数の数に依存します。したがって、形状関数は関数と見なすことができ、これは、要素の内部点での各ノード値の寄与を示します。2つのノード要素についてノード1では、N1の寄与は1であり、N2の寄与はゼロです。

ノード2では、N2の寄与は1であり、N1の寄与はゼロです。

要素の中間点では、両方のノードの重みまたは影響が等しくなります。したがって、形状関数は、フィールド変数が要素全体でどのように変化するかだけでなく、フィールド変数の各ノード値が要素の内部点でどの程度影響するかを示します。幸せな学習:)

また、ここで形状関数について詳しく説明しました：http : //stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

レイリーリッツ法の仕組みを視覚的に段階的に説明します。この記事を書くことで、ようやく形状関数を理解することができました。

私の理解によると..形状関数は、フィールド変数と節点間の関係に他なりません。

私たちの地球は外部の負荷で加圧されており、私たちの地球は割れようとしていると仮定します。分析的手法により、多くの公式を使用して、ある部分（アジア大陸を想定）で地球が割れそうになっていることがわかります。FEM法を使用して、地球をさまざまな国、州、都市に分割し、各都市をメッシュし、最後にすべての都市に参加して地球と呼ばれる1つの地球を形成します。形状関数は、メッシュ化された都市間のブリッジを提供して、州と国、そして最終的に地球を形成するキーです。メッシュを接続するのはリンクです。これが完了すると、荷重が適用され、亀裂が始まる場所を正確に見つけることができ、それを強化することができます。

これがお役に立てば幸いです。

私が形状関数について理解しているのは、幾何学的な節点座標を同じ形状関数で要素変位と接続することです。

1Dの場合を考えます。2つのノードを持つバーが終了します。

この要素をその節点座標に接続すると、補間機能を使用して、この要素の任意のポイントで変位を見つけることができます。

したがって、基本的に形状関数は、空間内の任意の点で変形を称賛に値する形で見つけるために行う近似です。

形状関数は、要素上の任意の点での変位を要素の節点の変位に関連付ける関数です。形状関数と要素上の点のグラフは、変形された要素の「形状」、したがって形状関数の名前を示します。