微分を含む数値求積法

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求積法のほとんどの数値的手法は、被積分関数をブラックボックス関数として扱います。さらに情報がある場合はどうなりますか？特に、もしあれば、被積分関数の最初の数個の導関数を知ることからどんな利益が得られますか？他にどのような情報が価値があるのでしょうか？

特に導関数の場合：基本的な求積法（長方形/台形/シンプソンの規則）の誤差推定値は密接に関連しています。おそらく、動的適応性に依存する代わりに、サンプリング解像度を事前に選択する方法がありますか？

私は単変量と多次元の両方の場合に興味があります。

quadrature error-estimation

— MRocklin
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ちょっとした修正：長方形、台形、シンプソンの規則は、ガウス求積法ではなく、ニュートン・コート型の規則です。

— ペドロ

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これはあなたが念頭に置いていたものではありませんが、完全を期すために、基本から始めましょう。：ニュートン・コーツとガウスなど、ほとんどの直交式は約関数の積分を評価するために、あなたは、例えば、あなたは正確に統合できることを多項式で関数を近似できるという考えに基づいている

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

ニュートンコートとガウスはラグランジュ補間に基づいています。つまり、ノードセット（ニュートンコートでは均一に間隔を空けられ、ガウスでは特定の意味で最適に選択された）のセットの値を使用して特定の関数を補間します。この場合、であり、多項式ノードの基底関数上の積分は、まさに求積重みです。 $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

同じアプローチがエルミート補間で機能します。つまり、ノードのセットで特定の順序まで関数とその導関数の値を使用する補間です。関数と一次導関数の値だけ、お持ちの場合（これがどのように機能するかを確認したい場合は、これのMatlab実装があります。）

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

これは、ノードの重みにするために正確に選択されるガウス・ルジャンドル直交呼ばれるガウス求積の変異体、に関連している有するガウス直交するという事実のために別の説明であるワニス（ノードが正確な順序である）。これは、2番目の段落のあなたの質問に少なくとも部分的に答えると思います。このため、通常、エルミート補間の代わりにガウス求積法が使用されます。これは、同じ数のポイントで同じ次数を取得しますが、微分情報は必要ないためです。 $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

多次元求積法では、評価が必要な導関数（混合導関数を含む）の数が、次数が増えると非常に急速に増加するという問題に直面します。

質問に戻ります：派生情報を悪用する簡単な方法は、統合ドメインの下位区分を使用し、各区分に個別の求積法を使用することです。関数の導関数がドメインの一部で大きいことがわかっている場合は、より小さいドメイン（事実上、合計された求積式）または高位の直交次数を使用します。これは、有限要素法におけるh-およびp-adaptivityにそれぞれ関連しています。

— クリスチャン・クラソン
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エンドポイントの派生物を呼び出す「修正された」統合ルールがいくつかあります。1つの簡単な例は、修正された台形規則です。積分を近似したいとします

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

$n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

$h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

精度が大幅に向上します。たとえば、考慮してください

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

$n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

$T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

それぞれ。エラーは

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

そして

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

精度の著しい向上を示しています。より高い導関数を含む修正、または他のニュートンコートルールまたはガウス型ルールから始まる修正があります。

— アラスデア
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$\text{polynomial}\times\text{weight function}$ 正確に。予想どおり、このルールを使用するには、任意の実数点で関数とその派生関数を評価できることが期待されます。通常の場所での検索では、さらにいくつかの参照を検索できるはずです。

— JM
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このスレッドは非常に古いものですが、一般的な求積規則の一般化については、査読済みの論文を参照すると役立つと思います。

Nenad Ujevic、「修正されたシンプソンの規則とエラー限界の一般化」、ANZIAM Journal、Vol。47、2005。

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

自由にアクセスでき、他の論文への参照がある良い参照を提供することは有益だと思いました。

上記のAlasdairが指摘したように、エンドポイントの派生物を含めると、精度が著しく向上します。たとえば、UjevicとRobertsは、シンプソンのルールに最初の導関数を追加すると、グリッド間隔の誤差が6次に減少するのに対し、導関数なしでは4次になることを示しました。Ujevicの論文は、さらに厳しいエラー境界が見つかることを示しています。

N. UjevicおよびAJ Roberts、修正された求積式とアプリケーション、ANZIAM J.、45（E）、（2004）、E41–E56。 http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

（クリスチャン・クラソンは、私が与えた参考文献は良いものであり、コメントが何らかの段階で消された場合に失われる可能性があると考えたため、私は答えを答えに移すことを提案しました。）

— リシストラタ
ソース

記事に示された結果についてコメントできますか？

— ニコグアロ

これで、十分な担当者ポイントが得られました！自由にアクセスでき、他の論文への参照がある良い参照を提供することは有益だと思いました。上記のAlasdairが指摘したように、エンドポイントの派生物を含めると、精度が著しく向上します。たとえば、私がリンクした論文の参考文献6では、RobertsとUjevicは、シンプソンのルールに1階微分を追加すると、グリッド間隔の誤差が6次に減少するのに対し、微分なしでは4次になることを示しました。Ujevicの論文は、さらに厳しいエラー境界が見つかることを示しています。

— -Lysistrata

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@Lysistrataこれは素晴らしいリファレンスです。コメントを回答自体に編集できますか？コメントは消える可能性があり、コメントを失うのは残念です。

— クリスチャンクラソン