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実験の説明： ラグランジュ補間では、正確な方程式がNNNポイント（多項式次数N− 1N−1N - 1）でサンプリングされ、101ポイントで補間されます。ここでNNN各時刻2から64まで変化させL1L1L_1、L2L2L_2及びL∞L∞L_\inftyエラープロットを用意します。関数が等間隔の点でサンプリングされると、エラーが最初に低下し（NNNが約15未満になるまで発生します）、その後がさらに増加するとエラーが増加することがわかりNNNます。 一方、初期サンプリングがルジャンドルガウス（LG）ポイント（ルジャンドル多項式の根）、またはルジャンドルガウスロバット（LGL）点（ロバート多項式の根）で行われた場合、エラーはマシンレベルに低下し、とき増やすNNNさらに増加します。 私の質問は、 等間隔のポイントの場合、正確にはどうなりますか？ 多項式の次数を増やすと、特定のポイントの後にエラーが発生するのはなぜですか？ これはまた、WENO / ENO再構築にラグランジュ多項式を使用して等間隔の点を使用すると、滑らかな領域でエラーが発生することを意味しますか？（まあ、これらは（私の理解のために）架空の質問にすぎません。WENOスキームに対して15以上の次数の多項式を再構築することは実際には合理的ではありません） さらなる詳細： 近似関数： f（x ）= cos（π2 x ）f(x)=cos⁡(π2 x)f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)、X ∈ [ - 1 、1 ]x∈[−1,1]x \in [-1, 1] N個の等間隔（および以降のLG）ポイントにバツxx分割されます。関数は毎回101ポイントで補間されます。NNN 結果： a）等間隔の点（補間N= 65N=65N = 65）： b）等間隔のポイント（エラープロット、ログスケール）： a）LGポイント（補間N= 65N=65N = 65）： b）LGポイント（エラープロット、ログスケール）：

24 finite-difference  interpolation  error-estimation  polynomials 

私は論文を理解しようとするのに少し苦労しています。この論文では、スペクトル法を使用して、結合ODEのシステムから得られる固有値を解きます。私の質問の核心に到達するのに十分であるので、私は今1つの方程式だけを書きます。 方程式は V[r]=e−(ν[r]+λ[r])ϵ[r]+p[r]∗[(ϵ[r]+p[r])(eν[r]+λ[r])rW[r]]′V[r]=e−(ν[r]+λ[r])ϵ[r]+p[r]∗[(ϵ[r]+p[r])(eν[r]+λ[r])rW[r]]′V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]' 派生物を実行して取得する （Eq1） V=[ϵ′+p′ϵ+p+r(ν′+λ′)+1]W+rW′V=[ϵ′+p′ϵ+p+r(ν′+λ′)+1]W+rW′V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W' 論文によると、システムの平衡量）を次の形式のチェビシェフ多項式として展開できるはずです。(ϵ,p,ν,λ(ϵ,p,ν,λ(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda B[r]=Σ∞i=0biTi[y]−12b0B[r]=Σi=0∞biTi[y]−12b0B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0 、ここでは多項式です。Mathematicaで書いたコードを使ってを取得する方法を知っています。また、、の領域はです。b i y = 2 （r …

19 eigenvalues  polynomials  spectral-method 

私は加速器物理学の分野から来ました。特に円形のストレージリングに関連していますシンクロトロン光源用。高エネルギー電子は、磁場に導かれてリングの周りを循環します。電子は何十億回も循環しており、安定性を予測したいと考えています。位相空間（位置、運動量空間）の観点から、リングの1点での電子の動きを説明できます。リングを回るたびに、パーティクルは新しい位置と運動量に戻り、これにより「ワンターンマップ」と呼ばれる位相空間のマップが定義されます。原点に不動点があると仮定する場合があるため、べき級数で拡張できます。したがって、反復べき級数マップの安定性について知りたいと思います。これについて多くの難しい質問があり、このトピックには古い歴史があります。いわゆる切り捨てられたべき級数代数を実装するために、多数のライブラリが実装されています。（例えばY. Yanによるzlibに関するこの論文。物理学に関するより多くの背景と分析の1つのアプローチは、Bazzani et。al。ここで。）問題は、そのようなライブラリを使用する方法、および安定性の問題を解決する方法です。ビームダイナミクスで使用される主なアプローチは正規形解析でしたが、成功したとは思いません。ある種のスペクトル法が他の分野で開発されているのだろうか（おそらくこのようなものに沿って）？）。誰かが原点を固定点とする反復べき級数マップの長期安定性が分析される別のドメインを考えることができます。私が知っている1つの例は、フィッシュマンと原子物理学の「アクセラレータモード」の仕事です。他にありますか？キックローターまたはヘノンマップとしてモデル化できる他のシステムは何ですか？

16 algorithms  polynomials 

ブライアンボーチャーズは、最近の質問である7つの非線形代数方程式を記号的に解くシステムで、Matlab / Mupadが処理できない多項式システムをMapleで解くことができることを実験的に確認しました。Mapleにはグレブナー基底と関連アルゴリズム（ここで使用しているものだと思います）の高品質な実装があることを、現場で働いている人々から以前に聞いたことがあります。 「Matlabはこの種の問題で遅いのでMapleに切り替えてください」と提案したくなりますが、このステートメントを裏付けるデータが欲しいです。 さまざまなコンピューター代数システムにおけるグレブナー基底の実装と多項式システムソリューションの速度と有効性を比較する一連のベンチマーク結果はありますか？（Maple、Mathematica、Matlabの象徴的なツールボックスなど）。

10 reference-request  polynomials  symbolic-computation  maple 

四次方程式の解のためのオープンなC実装はありますか？ ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 フェラーリのソリューションの実装を考えています。ウィキペディアで、係数の可能​​な符号の組み合わせの一部に対してのみ、解が計算的に安定していることを読みました。しかし、私は幸運かもしれません...コンピュータ代数システムを使用して分析的に解決し、Cにエクスポートすることによって実用的な解決策を得ました。しかし、テスト済みの実装がある場合、これを使用したいと思います。私は高速な方法を検索し、一般的なルートファインダーを使用しないことを好みます。 本当の解決策だけが必要です。

10 polynomials  nonlinear-equations  roots 

一部の画像の高次（たとえばm=0、n=46）ゼルニケモーメントを計算しようとしています。しかし、放射多項式に関する問題に直面しています（ウィキペディアを参照）。これは区間[0 1]で定義された多項式です。以下のMATLABコードを参照してください function R = radial_polynomial(m,n,RHO) R = 0; for k = 0:((n-m)/2) R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ... ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ... .*RHO.^(n-2.*k); end end ただし、これは明らかにの近くの数値の問題にぶつかりますRHO > 0.9。 私はそれをpolyvalいくつかのより良い舞台裏のアルゴリズムがあるかもしれないと考えるようにそれをリファクタリングしてみましたが、それは何も解決しませんでした。これをシンボリック計算に変換すると、目的のグラフが作成されましたが、次のような単純なグラフであっても驚くほど遅くなりました。 そのような高次多項式を評価する数値的に安定した方法はありますか？

9 matlab  polynomials  numerical-limitations 

ましょうと゜F > 度G。f mod gを計算するための漸近的に高速で数値的に安定したアルゴリズムを探しています。意図されたアプリケーションでは、f 、gは両方とも倍精度浮動小数点係数をもつ密な多項式です。しかし、今のところ、実装よりもアルゴリズムに興味があります。数値多項式のGCDを計算するためのアルゴリズムのリファレンスも高く評価されています。f,g∈R[x]f,g∈R[x]f, g \in \mathbb{R}[x]degf>deggdeg⁡f>deg⁡g\deg f > \deg gfmodgfmodgf \bmod gf,gf,gf, g

9 algorithms  reference-request  polynomials