チェビシェフ多項式を使用したスペクトル法の難しさ

私は論文を理解しようとするのに少し苦労しています。この論文では、スペクトル法を使用して、結合ODEのシステムから得られる固有値を解きます。私の質問の核心に到達するのに十分であるので、私は今1つの方程式だけを書きます。

方程式は

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

派生物を実行して取得する

（Eq1） $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

論文によると、システムの平衡量）を次の形式のチェビシェフ多項式として展開できるはずです。$(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$、ここでは多項式です。Mathematicaで書いたコードを使ってを取得する方法を知っています。また、、の領域はです。b i y = 2 （r / R ）− 1 r （0 、R $T_i[y]$$b_i$$y = 2(r/R) -1$$r$$(0,R)$

また、論文では、関数（）は 、および一般的にような用語は、F [ r ] = （$V,W$B[r]F[r$F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$$B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

ここで 及びのためのと1に等しいため。 Θ （K ）= 0 、K < $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$$\Theta(k) = 0$$k<0$$k\geq 0$

すべてのことを言って、次の平衡関数を作成するとしましょう

$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$および、Eq1は$r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

（Eq2） 。$\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Question1：私は何をします用語？多項式は関数であるため、 X関数[y]のような拡張をどのように行うことができますか？また、方程式の両側でそれらを分割できるように思えますが、その用語の導入のポイントは何でしたか？論文によれば、この用語は、がゼロになるとがゼロになるという境界条件を課すことになっています。[y]B[r]=（$(\frac{r}{R})^l$$[y]$V、W$B[r]= (\frac{r}{R})^l$$V,W$$r$

* Question2： *私が対処することになっていますどのようにで用語。この論文では、派生語の処理方法について説明していますが、自体についてはどうですか。それを平衡値のように扱い、ような用語にルールを使用するのか、このを用語で表現するのか。それとも、何か他のことをする必要がありますか？r ∗ W ′ r B [ r ] F [ r ] r $r$$r*W'$$r$$B[r]F[r]$$r$$y$

論文を詳細に読まずに質問に答えることが可能かどうかはわかりません。ただし、最初の質問に関しては、です。また、この要素はすべての項を乗算するわけではないため、分割できません。$r/R = (y+1)/2$

質問2の場合、この方程式はで境界条件を適用するために使用されるため、あなたが言及する用語は消えるべきだと思います。$r=0$