等間隔のポイントの動作が悪いのはなぜですか？

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実験の説明：

ラグランジュ補間では、正確な方程式が $N$ ポイント（多項式次数 $N - 1$ ）でサンプリングされ、101ポイントで補間されます。ここで $N$ 各時刻2から64まで変化させ $L_1$ 、 $L_2$ 及び $L_\infty$ エラープロットを用意します。関数が等間隔の点でサンプリングされると、エラーが最初に低下し（ $N$ が約15未満になるまで発生します）、その後がさらに増加するとエラーが増加することが $N$ ます。

一方、初期サンプリングがルジャンドルガウス（LG）ポイント（ルジャンドル多項式の根）、またはルジャンドルガウスロバット（LGL）点（ロバート多項式の根）で行われた場合、エラーはマシンレベルに低下し、とき増やす $N$ さらに増加します。

私の質問は、

等間隔のポイントの場合、正確にはどうなりますか？

多項式の次数を増やすと、特定のポイントの後にエラーが発生するのはなぜですか？

これはまた、WENO / ENO再構築にラグランジュ多項式を使用して等間隔の点を使用すると、滑らかな領域でエラーが発生することを意味しますか？（まあ、これらは（私の理解のために）架空の質問にすぎません。WENOスキームに対して15以上の次数の多項式を再構築することは実際には合理的ではありません）

さらなる詳細：

近似関数：

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$ 、 $x \in [-1, 1]$

等間隔（および以降のLG）ポイントに $x$ 分割されます。関数は毎回101ポイントで補間されます。 $N$

結果：

a）等間隔の点（補間 $N = 65$ ）：

ここに画像の説明を入力してください

b）等間隔のポイント（エラープロット、ログスケール）：

ここに画像の説明を入力してください

a）LGポイント（補間 $N = 65$ ）：
b）LGポイント（エラープロット、ログスケール）：

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— スボード
ソース

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等間隔点の問題は、補間誤差多項式、すなわち

f (x) - P_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i}), ξ \in [x_{0}, x_{n}]

$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$

$x_i$

Gauss-Legendreポイントを使用すると、エラー多項式の動作が大幅に改善されます。つまり、エッジで爆発しなくなります。チェビシェフノードを使用する場合、この多項式は等振動し、補間誤差は最小になります。

— ペドロ
ソース

6

John P. Boyd Chebyshev and Fourier Spectral Methods の本には非常に詳細な説明があり、Pedroの補間誤差多項式についても簡潔に説明されています（4.2章85ページ）。

— BORT

ありがとうございました。また、上記の選択肢のルベーグ定数は異なる動作をします。等間隔の点の場合、ルベーグ定数は指数関数的に増加しますが、LG、LGL、チェビシェフの場合、nの増加に伴い飽和します。 en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_constant_(interpolation）、 ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_33_from109to123.pdfが、数値的実施に関する質問がまだ残っている...

— Subodh

申し訳ありませんが、ENO / WENOについてはあまり知りません。しかし、低次の補間のための滑らかな領域に問題があるとは思わないでしょうが、明確な理由から直角位相ノードは間違いなくより良い選択です。

— BORT

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これは本当に興味深い質問であり、多くの可能な説明があります。多項式補間を使用しようとしている場合、多項式は次の迷惑な不等式を満たすことに注意してください

次数の多項式与えられると、 $P$ $N$

| P^{'} (x) | \leq \frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}} max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$

すべてのため。これはバーンスタインの不等式として知られています。この不等式の特異点に注意してください。これはマルコフの不等式によって制限されます $x \in (-1,1)$

max_{x} | P^{'} (x) | \leq N^{2} max_{x} | P (x) |

$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$

そして、これはチェビシェフ多項式がこれを方程式にするという意味で鋭いことに注意してください。つまり、次の結合された境界があります。

| P^{'} (x) | \leq min (\frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}}, N^{2}) max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$

これが何を意味するか：多項式の勾配は、区間境界の小さな近傍を除いて、どこでもその順序で線形に成長します。境界では、それらはように成長します。安定した補間ノードのすべてが境界付近にクラスタリングを持っていることは偶然ではありません。基底の勾配を制御するにはクラスタリングが必要ですが、中点付近では少し緩和することができます。 $N^2$ $1/{N^2}$

ただし、これは必ずしも多項式現象ではないことが判明しました。次の論文をお勧めします。

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

大まかに言うと、多項式基底の近似近似力が同じ場合、等間隔の点を安定した方法で使用することはできません。

— リード・アッチョン
ソース

1

問題は等間隔の点ではありません。問題となるのは、等間隔のポイントとともに基底関数のグローバルなサポートです。等間隔の点を使用して完全に条件付けられた補間は、コンパクトなサポートのキュービックbスプライン基底関数を使用して、Kressの数値解析で説明されています。

— user14717
ソース

確かですが、補間

C^{2}

$C^2$

— 関数は

@GoHokies：コンパクトにサポートされたスプラインは、反復畳み込みにより必要に応じてスムーズに作成できます。補間の使用例は何ですか？

C^{\infty}

$C^{\infty}$

— user14717

公正なポイント。ほとんどのアプリケーションでは、（「位置速度加速度」）で十分です。境界値の問題にはが必要かもしれませんが、それ以上の一般的な使用例は考えられません。

C^{2}

$C^2$

C^{4}

$C^4$

— GoHokies

1

等間隔のポイントの場合、正確にはどうなりますか？

多項式の次数を増やすと、特定のポイントの後にエラーが発生するのはなぜですか？

これは、等間隔のノードでは、多項式の次数、つまり点の数が増えると、補間誤差が無限大になるルンゲ現象に似ています。

この問題の根源の1つは、@ Pedroの回答に対する@Subodhのコメントで指摘されているように、ルベーグの定数にあります。この定数は、補間を最適な近似に関連付けます。

いくつかの表記

ノードを補間する関数がます。ラグランジュ補間では、ラグランジュ多項式が定義されます： $f \in C([a,b])$ $x_k$

L_{k} (x) = \prod_{i = 0, i \neq j}^{n} \frac{x - x_{i}}{x_{k} - x_{i}}

$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$

これにより、ライト表記のカップルに対する補間多項式が定義されます。 $p_n \in P_n$ $(x_k, f(x_k))$ $(x_k, f_k)$

p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} f_{k} L_{k} (x)

$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$

ここで、データの摂動を考えてみましょう。これは、たとえば丸めの場合があります。そのため、ます。これにより、新しい多項式は次のようになります。 $\tilde{f}_k$ $\tilde{p}_n$

{\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {\tilde{f}}_{k} L_{k} (x)

$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$

エラー推定値は次のとおりです。

p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (f_{k} - {\tilde{f}}_{k}) L_{k} (x)

$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$

| p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) | \leq \sum_{k = 0}^{n} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} | | L_{k} (x) | \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

これで、ルベーグの定数 を次のように定義できます。 $\Lambda_n$

Λ_{n} = max_{x \in [a, b]} \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

これにより、最終的な見積もりは次のようになります。

| | p_{n} - {\tilde{p}}_{n} | |_{\infty} \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) Λ_{n}

$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$

（限界ノート、我々は有限尺度の空間を超えているのでノルムだけを見るので、） $\infty$ $L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

上記の計算から、は次のようになります。 $\Lambda_n$

日付とは無関係：
ノードの分布のみに依存します。
安定性の指標（値が小さいほど良い）。

また、に対する補間演算子の標準です。標準。 $|| \cdot||_\infty$

次の定理により、ルベーグ定数を用いた補間誤差の推定が得られました。

ましょうと我々が持っている上記のようにここでは、最良の均一近似多項式による誤差です $f$ $p_n$
$| | f - p_{n} | |_{\infty} \leq (1 + Λ_{n}) d_{n} (f)$ $|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$ $d_{n} (f) = inf_{q_{n} \in P_{n}} | | f - q_{n} | |_{\infty}$ $d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$

すなわち、が小さい場合、補間の誤差は最良の均一近似の誤差からそれほど遠くなく、定理は補間誤差を最良の均一近似の誤差である最小の誤差と比較します。 $\Lambda_n$

このため、補間の動作はノードの分布によって異なります。そこ約下限であるノード分布所与が一定に存在すること：なるように定数が大きくなるので、それはISの成長方法インポータン。 $\Lambda_n$ $c$

Λ_{n} \geq \frac{2}{π} \log (n) - c

$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$

用等間隔ノード 私はいくつかの詳細は省略するが、我々は成長が指数関数的であることがわかります。

Λ_{n} \approx \frac{2^{n + 1}}{e n \log (n)}

$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$

ため チェビシェフノード もここで私はいくつかの詳細を省略し、より正確で複雑な推定値が存在します。詳細については、[1]を参照してください。チェビシェフ族のノードは対数的に成長しており、以前の推定から得られる最良の値に近いことに注意してください。

Λ_{n} \leq \frac{2}{π} \log (n) + 4

$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$

他のノードの分布については、たとえばこの記事の表1を参照してください。

補間に関する本には多くの参考文献があります。オンラインのこれらのスライドは履歴書として便利です。

また、この公開記事（[1]）

さまざまな比較のための間隔の多項式の数値7グリッド補間比較。

— マウロ・ヴァンゼット
ソース

1

これの良い注意すべきフローター-Hormannの補間子あなたは時に持って等距離の点とする（またはしたい）仕事を。 $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

の整数が与えられた、をの多項式内挿とします。次に、関数のFH補間で形状を有します $d$ $0 \le d \le n$ $p_i$ $\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$ $f$ $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

r_{n} (x) := \frac{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x) p_{i} (x)}{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x)}

$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$

「ブレンド機能」

λ_{i} (x) = \frac{(- 1)^{i}}{(x - x_{i}) \dots (x - x_{i + d})}

$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$

これらの内挿のいくつかのプロパティ：

それらは、実極を持たない重心有理補間です。
点の分布に関係なく、に対して任意の近似次数を達成します。 ${\cal O}(h^{d+1})$ $f \in C^{d+2}[a,b]$
（ローカル）多項式補間をブレンド関数として動作するにブレンドするという点で、スプラインにいくらか似ています。 $p_0, \ldots p_{n-d}$ $\lambda$
最大で（またはが奇数の場合は）の数の多項式を再現します。 $d$ $d+1$ $n-d$
重心形式で記述できます（Floater and Hormannの論文のセクション4を参照）。

注意事項：予想どおり（@ Reid.Atchesonによって参照された論文を参照）、を増やすと、近似プロセスの条件付けが急速に低下します。 $d$

この問題を軽減するために、Kleinが最近行った作業がいくつかあります。彼は追加することによって、元のフローター-Hormannアプローチを修飾新しいオリジナル補間区間外点に対応するデータ値の滑らかな延長部から構成外部のみ指定されたデータ使用。この「グローバル」データセットは、新しいFH有理関数によって補間され、内でのみ評価されます。 $2 d$ $[a,b]$ $f$ $[a,b]$ $f_0, \ldots f_n$ $r_{n+2d}$ $[a,b]$

詳細はKleinの論文（以下にリンク）でうまくレイアウトされており、これらの拡張された合理的な内挿は、と対数的に成長するルベーグ定数を持っていることが示されています（元のFHスキームについては、指数関数的成長、Bosを参照）等）。 $n$ $d$ $d$

ここでchebfuns説明するように、Chebfunライブラリーは等間隔のデータから構築するときにFH内挿を使用します。

参照：

MS FloaterおよびK. Hormann、極なしの近似近似の高いBarycentric有理補間、Numerische Mathematik 107（2007）。

G.クライン、重心合理的補間のフローター・ホーマン族の拡張、計算の数学、82（2011）- プレプリント

L. Bos、S。De Marchi、K。Hormann、G。Klein、等距離ノードでの重心有理補間のルベーグ定数について、Numer。数学。121（2012）

— GoHokies
ソース