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各制約が最大で（たとえば）4つの変数（-1の係数を持つことができる1つの変数を除くすべてが非負で、{0,1}の係数を持つ）を持つ線形制約のセットがある場合、解について知られていることスペース？変数の数と制約の数、および変数の数の関数として、目的関数の最小値がどれだけ小さいかを知るよりも、効率的な解決策についてはあまり関心がありません（わかっている場合は示してください）制約。 より具体的には、プログラムは次のようなものです すべてのiの 対象となるtを最小化、x_iは正の整数 x1 + x2 + x3-t <0 x1 + x4 + x5-t <0 ... x3 + x6-t≥0 x1 + x2 + x7-t≥0 ... 具体的な質問が必要な場合、最小解がt <= O（max {＃of variables、＃of constraint}）に従い、O（）の定数がまばらに依存する場合ですか？しかし、答えがいいえであっても、そのような問題の議論のためにどんな種類の教科書や論文を勉強するのか、そしてこの種のことを専門とする研究分野があるが、私は知りません検索する用語。ありがとうございました。 更新：さらなる考察（および3SATを3変数の制約を使用するILPへのかなり単純な還元を通して考える）で、係数の問題が重要であることがわかります（効率的なアルゴリズムがある場合）。より正確には、すべてのx_i変数は0または1の係数（1つの制約で最大3つの1係数）を持ち、すべてのt変数は-1の係数を持ち、すべての比較は左側に変数を持ち、右側に0を持ちます。上記の例を更新して、明確にしました。

23 co.combinatorics  integer-programming 

（これは、この質問とその回答のフォローアップです。） 次の完全ユニモジュラー（TU）整数線形プログラム（ILP）があります。ここで 入力の一部として与えられたすべての正の整数です。変数x i jの指定されたサブセットはゼロに設定され、残りは正の整数値を取ることができます。ℓ 、m 、n1、n2、… 、nℓ、c1、c2、 … 、cm、 wℓ、m、n1、n2、…、nℓ、c1、c2、…、cm、w\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},wバツ私はjバツ私jx_{ij} 最小化 ∑mj = 1cj∑ℓi = 1バツ私はj∑j=1mcj∑私=1ℓバツ私j\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij} 対象： ∑mj=1xij=ni∀i∑j=1mxij=ni∀i\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i ∑ℓi=1xij≥w∀j∑i=1ℓxij≥w∀j\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j 標準形の係数行列であるのエントリを有する行列- 1 、0 、1。(2ℓ+m)×ℓm(2ℓ+m)×ℓm(2\ell+m)\times \ell m−1,0,1−1,0,1{-1,0,1} 私の質問は： そのようなILPを解決する多項式時間アルゴリズムの実行時間について知られている最高の上限は何ですか？これに関する参考文献をいくつか教えていただけますか？ 私はいくつかの検索を行いましたが、ほとんどの場所で、TU ILPはLPの多項式時間アルゴリズムを使用して多項式時間で解くことができると言っています。有望に見えたものの1つは、Tardos [1]による1986年の論文で、このような問題は係数行列のサイズの時間多項式で解決できることを証明しています。しかし、この論文から理解できる限り、そのアルゴリズムの実行時間は、LPを解くための多項式時間アルゴリズムの実行時間に依存します。 LPの問題を解決する一般的なアルゴリズムよりも大幅に高速な（TU ILPの）この特殊なケースを解決するアルゴリズムを知っていますか？ そうでない場合、 LPのどのアルゴリズムが、このようなILPを（漸近的な意味で）最速で解決しますか？ [1]組み合わせ線形計画を解くための強力な多項式アルゴリズム、Eva Tardos、Operations Research 34（2）、1986

21 ds.algorithms  reference-request  linear-programming  integer-programming  polynomial-time 

問題の解決を試みている間に、私はその一部を次の整数線形プログラムとして表現することになりました。ここで入力の一部として与えられたすべての正の整数です。変数x i jの指定されたサブセットはゼロに設定され、残りは正の整数値を取ることができます。ℓ,m,n1,n2,…,nℓ,c1,c2,…,cm,wℓ,m,n1,n2,…,nℓ,c1,c2,…,cm,w\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},wxijxijx_{ij} 最小化 ∑mj=1cj∑ℓi=1xij∑j=1mcj∑i=1ℓxij\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij} 対象： ∑mj=1xij=ni∀i∑j=1mxij=ni∀i\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i ∑ℓi=1xij≥w∀j∑i=1ℓxij≥w∀j\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j この整数プログラムが多項式時間で解けるかどうか知りたい。私の元々の問題は解決していれば解決し、そうでなければ別の方法を試さなければなりません だから私の質問は： 特定の整数線形プログラムが多項式時間で解けるかどうかはどうすればわかりますか？どの整数線形プログラムが簡単であることが知られていますか？特に、上記のプログラムは多項式時間で解くことができますか？これに関する参考文献をいくつか教えてください。

13 reference-request  linear-programming  polynomial-time  integer-programming  integrality-gap 

H. Lenstraによって有名な1983紙変数の固定数で整数計画変数の固定数を持つ整数プログラムは、データの長さの時間多項式で解決できると述べています。 次のように解釈します。 一般に整数プログラミングはまだNP完全ですが、手元にある私の典型的な問題サイズ（たとえば、約10.000変数、任意の数の制約）が実際に実行可能であれば、制約の数で多項式的にスケーリングするアルゴリズムを構築できますが、変数と制約の数。 適切な制約を追加することで任意の整数を強制的に0-1にできるため、結果はバイナリプログラミングにも適用できます。 私の解釈は正しいですか？ この結果は実際的な意味を持ちますか？つまり、利用可能な実装はありますか、それはCPLEX、Gurobi、Mosekなどの一般的なソルバーで使用されていますか？ 論文からの引用： この長さは、目的のために、n・m・log（a + 2）と定義できます。ここで、aはAとbの係数の絶対値の最大値を示します。実際、問題の問題はNP完全であるため、そのような多項式アルゴリズムは存在しない可能性が高い [...] [5]、[10]は、nの任意の固定値に対して、整数線形計画問題を解くための多項式アルゴリズムが存在すると推測されました。本論文では、このようなアルゴリズムを示すことにより、この推測を証明します。アルゴリズムの実行時間を制限できる多項式の次数は、nの指数関数です。

12 co.combinatorics  linear-programming  integer-programming 

一定の数の制約（または変数）を持つ整数計画法が多項式的に解けることは、論文「固定数の変数による整数計画法」で示されました。 これは0-1プログラミングに当てはまりますか？

11 cc.complexity-theory  integer-programming 

単純なアルゴリズムに勝る次の問題の既知のアルゴリズムはありますか？ 入力：AシステムのM不等式線形。X ≤ BAx≤bAx \le bメートルmm 出力：実行可能解が存在する場合。バツ∗∈ { 0 、1 }んx∗∈{0,1}nx^*\in \{0,1 \}^n とbに整数のエントリがあると仮定します。私は最悪の範囲に興味があります。あAAbbb

10 np-hardness  integer-programming  exp-time-algorithms 

単純なアルゴリズムに勝る次の問題の既知のアルゴリズムはありますか？ 入力：行列とベクトルb 、c。ここで、A 、b 、cのすべてのエントリは非負の整数です。AAAb,cb,cb,cA,b,cA,b,cA,b,c 出力：最適なソリューションに最大{ C T X ：A X ≤ B 、X ∈ { 0 、1 } N }。x∗x∗x^*max{cTx:Ax≤b,x∈{0,1}n}max{cTx:Ax≤b,x∈{0,1}n}\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \} この質問は、以前の質問0-1プログラミングのための正確な指数時間アルゴリズムの改良版です。

9 np-hardness  integer-programming  exp-time-algorithms 

私は1993年にCP Schnorrによって「整数の因数分解とディオファントス近似による離散対数の計算」というタイトルの論文を見つけました。整数の因数分解を行うために期待される多項式実行時間（およびスペース）を使用した確率論的手法のようです。 論文から：「を因数分解するシナリオ...対応する格子問題は、現在知られている格子簡約アルゴリズムでは実行不可能です。次元6300の格子の格子基底簡約の経験はありません。入力ベクトルのビット長は少なくとも1500です。」N≈ 2512N≈2512N \approx 2^{512} これは、提示されたアルゴリズムは多項式であるが、指数と係数が非常に大きいため、現在のテクノロジーでは計算上実用的ではないことを意味します。 誰もがこれについて検討できますか？この紙は合法ですか？もしそうなら、この巨大なニュースではありませんか？これは、整数因数分解がPで行われる可能性があることを意味していませんか？格子縮小アルゴリズムを扱いやすくするために人々は進歩していますか？

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