タグ付けされた質問 「embeddings」

与えられたことが知られているnnnの-pointサブセットℓd2ℓ2d\ell_2^d（与えられるnnnの点RdRd{\mathbb R}^dユークリッド距離）が内等角それらを埋め込むことが可能である。ℓ(n2)1ℓ1(n2)\ell^{n\choose 2}_1 アイソメは（おそらく、ランダム化された）多項式時間で計算可能ですか？ 有限精度の問題があるため、正確な質問は {\ mathbb R} ^ dおよび\ epsilon> 0のn点のセットが与えられると、マッピングf：X \ to {\ mathbb R} ^ {n \ choose 2}が計算可能（おそらくランダム性を使用）時間多項式におけるN対数で1 / \イプシロン毎にこのようなことは、X、XでY \我々はXXXnnnRdRd{\mathbb R}^dϵ>0ϵ>0\epsilon >0f:X→R(n2)f:X→R(n2)f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}nnn1/ϵ1/ϵ1/\epsilonx,y∈Xx,y∈Xx,y\in X ||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1 （注：O（\ epsilon ^ {-2} \ cdot …

27 cg.comp-geom  metrics  embeddings 

(X,d)(X,d)(X, d)(Y,f)(Y,f)(Y, f)μ:X→Yμ:X→Y\mu : X \rightarrow Yμμ\muρ=maxp,q∈X{d(x,y)f(μ(x),μ(y)),f(μ(x),μ(y))d(x,y)}ρ=maxp,q∈X{d(x,y)f(μ(x),μ(y)),f(μ(x),μ(y))d(x,y)} \rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \} 品質には他の尺度もあります：Dhamdhereらは「平均」歪みを研究しています： σ=∑d(x,y)∑f(μ(x),μ(y)).σ=∑d(x,y)∑f(μ(x),μ(y)). \sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}. ただし、ここで興味のある測定値は、平均加法誤差を調べるMDSのような方法で使用される測定値です。 ε2=∑|d(x,y)−f(μ(x),μ(y))|2ε2=∑|d(x,y)−f(μ(x),μ(y))|2 \varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2 MDS-のようなメソッドを外部に広くtheoryCSコミュニティを研究しているが、私は（唯一の紙の承知しているDhamdhereらが調べのこの措置の下での最適化、およびライン（上に埋め込むの限定された問題のためにあまりにもその））（補足：Tasos Sidiropoulosの2005年のMS論文には、以前の研究の素晴らしいレビューがあります）Y=RY=RY = \mathbb{R} このエラーの概念の下での厳格な品質分析に関して人々が知っている最近の研究はありますか？これらの問題は一般にNP困難ですが、私が興味を持っているのはあらゆる種類の近似です。

11 approximation-algorithms  cg.comp-geom  embeddings 

Johnson-Lindenstraussの補題は、の点のコレクション、マップが存在し、すべての： 同様のステートメントはメトリックでは不可能であることが知られていますが、そのような低い値を回避する方法があるかどうかは知られていますより弱い保証を提供することによる限界？たとえば、上記の補題のバージョンがありますN R dは F ：R D → Rのkのk = O （ログN / ε 2）X 、Y ∈ S （1 - ε ）| | f （x ）− f （y ）| | 2 ≤ | | x − y | | 2 ≤ （1 + ε ）|SSSnnnRdRd\mathbb{R}^df:Rd→Rkf:Rd→Rkf:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^kk = O （logN …

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平面グラフが交差するエッジを有することなく、平面内に埋め込むことができるグラフです。 LET であるk個の、そのすべてのハイパーエッジがサイズkを有するように、すなわちハイパーグラフ-uniform、ハイパーグラフ。G=(X,E)G=(X,E)G=(X,E)kkk なされてきた行っていくつかの作業（クラスタリングのコンテキストまたは他のアプリケーションとの）面にハイパーグラフを埋め込むには、しかし、多くの場合、データはジャスト面に埋め込むことができません。解決策は、それを強制するか、多少の損失を伴うか、またはここで提案するように、より高い次元に埋め込むことです。 平面性の自然な拡張（少なくともIMO）は、G：埋め込みM：X → R kの " -simple embedding"（既知の異なる名前はありますか？）であり、接続するサーフェスが存在するようになります。各ハイパーエッジのすべての頂点。これらは、端点を除いて交差しません。kkkGGGM:X→RkM:X→Rk\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k （2Dのアナログを考えてください。各サーフェスは、好きなように描くことができるエッジです）。 これは、3均一ハイパーグラフの有効な3単純埋め込みの例です。（各頂点は、含まれているハイパーエッジによって色分けされ、各面はハイパーエッジを表します）。 3つの単純なグラフの別の例は、5つの頂点上の完全な3均一ハイパーグラフです。これを確認するには、R 3で2D平面上にない4つの点を取り、三角形のピラミッド（凸包）を作成し、5番目の点をピラミッドの中心に配置して、他の頂点に接続します。G=(V,V×V×V)G=(V,V×V×V)G=(V,V\times V\times V)R3R3\mathbb{R}^3 同様に、6つの頂点の完全な3ユニフォームハイパーグラフには、3単純な埋め込みがないようです。 平面グラフにはいくつかの非常に便利なプロパティがあり、グラフが平面である場合に困難な問題のアルゴリズムを改善できます。残念ながら、データは次元数が少ない場合もありますが、多くの場合、平面的ではありません。平面グラフのどのプロパティが一般化するかを理解することは、同じアルゴリズムでどのアルゴリズムをより高次元に適合できるかを理解するのに役立つと思います。 役立つ可能性のあるプロパティの例は、すべての平面グラフをすべてのエッジが直線セグメントになるように埋め込むことができることを示唆するファリーの定理から来ています。 kkk 一般化できる他のプロパティはありますか？たとえば、平面グラフのオイラーの公式は、どういうわけかより高い次元に一般化できますか？（現時点では、それが何を意味するのかはわかりません）。

11 graph-theory  planar-graphs  hypergraphs  embeddings  generalizations 

平面グラフの組み合わせの埋め込みで、エッジの削除または縮小を行うサブリニアアルゴリズムがあるのでしょうか。 組み合わせの埋め込みでは、GとG *の頂点を同時に維持する必要があるため、プライマルの収縮は双対の削除であることを考慮に入れて、削除を行い、双対に従って主の順列を更新するだけで十分です（逆も同様） 。しかし、それを行う明白な方法は、それらを再計算することです。もっと良いことはできますか？ 2番目の質問：同じ頂点間の複数のエッジを取り除くのに役立つテクニックはありますか？（2番目の問題で私が目にする唯一の解決策は、たとえばm = 6nでグラフが表示されるまで、複数のエッジの削除を延期することです。ここで、m-エッジの数、n-頂点の数、これにより時間が償却されますO （1））おそらく、この時間を償却しないようにすることができるいくつかのテクニックがありますか？（私はまたo（n）ソリューションに興味があります、必ずしもO（1）ではありません） どうもありがとうございました！

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