Pの凸最適化はありますか？
フォームの凸最適化問題を考えます f0(x1,…,xn)fi(x1,…,xn)→min≤0,i=1,…,mf0(x1,…,xn)→minfi(x1,…,xn)≤0,i=1,…,m\begin{align} f_0(x_1, \ldots, x_n) &\to \min \\ f_i(x_1, \ldots, x_n) & \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \end{align} ここで、f0,f1,…,fmf0,f1,…,fmf_0, f_1, \dots, f_mは凸関数です。一般性を失うことなく、f0f0f_0は線形であると仮定できます。 NesterovとNemirovskiiは、彼らの著書「凸型プログラミングの内点多項式アルゴリズム」で、次の意味で多項式時間の凸型プログラムを解くことができるアルゴリズムがあると述べています。我々は、相対精度内で溶液を持ちたいεε\varepsilonのコストでO(p(n,m)ln(n/ε))O(p(n,m)ln(n/ε))O(p(n,m) \ln (n/\varepsilon))の値の計算とO(q(n,m)ln(n/ε))O(q(n,m)ln(n/ε))O(q(n,m) \ln(n/\varepsilon))部分勾配の計算。次に、楕円体法では、 p(n,m)=n3(m+n),q(n,m)=n2p(n,m)=n3(m+n),q(n,m)=n2p(n,m) = n^3 (m+ n), \qquad q(n,m) = n^2 一見すると、これは、楕円体法を使用して多項式時間で凸最適化問題を解くことができることを意味しているように見えます（簡単にするために、値と部分勾配を計算するためのオラクルは、考慮されるクラスのO(1)O(1)O(1)時間を必要とすると仮定します凸最適化問題）。 ただし、O(⋅)O(⋅)O(\cdot)式が何らかの方法で関数fifif_i依存しているかどうか、たとえばヘッシアンに依存しているかどうかは、まったくわかりません。この場合、関数の曲率特性により、複雑さは指数関数的に増大する可能性があります。さらに、「楕円体法は実際にはうまく機能しない」と不思議に主張されています。私の質問への回答が肯定的であるか否定的であるかは、インターネットでコンセンサスがないようです。たとえば、MathOverflow に関するこの議論を参照してください。 私は見つけることができる凸最適化に関するすべての本を検索しましたが、この確かに問題に依存しているという印象を受けましたが、この推測の明確な確認は見つかりませんでした。だから私の唯一の希望は、この分野で研究をしている人々に直接尋ねることです。O(⋅)O(⋅)O(\cdot) 後で開発された内点法は、自己整合バリアの概念を使用して曲率を明示的に説明しているようです。しかし、人々がこれらの方法が実際には効率的であると言うとき、彼らは通常、複雑さのレベルでこれを指定しません。