合理ポリトープ内の点生成

分離オラクルによって定義される有理多面体を考えます。つまり、はとして暗黙的に記述できますが、は非常に大きい場合、オラクルを使用します。これは、点が与えられると、と言うか、ような半空間を返します。P P = { X ∈ R K：AはX ≤ B 、A ∈ ZのM × K、B ∈ ZのM } M のx ∈ R K X ∈ P X ∉ $P$$P$$P = \{x \in R^k: Ax \leq b, A \in Z^{m \times k}, b \in Z^m \}$$m$$x \in R^k$$x \in P$$x \notin S$

私の目標は、点を見つけるか、が空であると判断することです。私はと表現サイズで多項式の実行時間を目指しています。ここで、 は最大絶対値です。つまり、アルゴリズムは分離オラクルへの呼び出しを多項式のみにする必要があります。P U k U $P$$P$$U$$k$$U$$A$

一般に、は低次元の超平面に含まれる可能性があるため、楕円体法を使用することには問題があります。したがって、カチヤンのトリックと同様に、（および分離オラクル）を変更してを使用します。ここで、はようなものです。直感的に、定義半空間定義と同じであるそれらがによって翻訳されている唯一のこと。多面体の、次のプロパティがあります。である空のIFF空で、あれば、空にされていないP P ϵ ϵ 1 / U P ϵ P ϵ P ϵ P ϵ P P P $P$$P$$P^\epsilon$$\epsilon$$1/U$$P^\epsilon$$P$$\epsilon$$P^\epsilon$$P^\epsilon$$P$$P$$P^\epsilon$ フルディメンションです。

私の質問は次のとおりです。アルゴリズムが点見つけると仮定します。を使用してポイントを生成することは可能ですか？ P $p \in P^\epsilon$$P$$p$

ポリトープの任意選択からにおける、、点におけるポリトープ求めることができるにおける一緒の埋め込みと、に、よう内にある（埋め込みの画像）のハウスドルフ距離と、このような（の埋め込み画像）は属します。これを行うには、単にファセットを作成しますR K ε q個のR K P R K + 1 R k個のR K + 1 P ε P Q P ε P R K ε Rの K + 1 R K $P$${\mathbb R}^k$$\epsilon$$q$${\mathbb R}^k$$\hat P$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$${\mathbb R}^{k+1}$$\hat P$$\epsilon$$P$$q$$\hat P^\epsilon$$\hat P$の埋め込み画像とほぼ平行になるため、によってそれらを変換すると、との交差が離れます。はるかに長い距離の${\mathbb R}^k$$\epsilon$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$$\hat P$

ので、任意であったの知識または周辺点発見に役に立たない、それを使ってできることはすべて、それなしでできることです。ので、しかし、ととても接近している、近くの点発見近い点発見と同等であるPを。したがって、の知識Q（点Pの εは）近点発見に役に立たないPを。Q P P P $q$$q$$P$$\hat P$$P$$P$$\hat P$$q$$\hat P^\epsilon$$\hat P$

内の点を見つけること、またはPが空であると判断することが目標である場合は、次のことを実行してみませんか。$P$$P$

してみましょう最初は空、半空間の集合とします。$H$

ましょ最初に等しい、ことポイントを0 K。$x$$0^k$

1. オラクルにを与えます。$x$

2. Oracleは言った場合、あなたがやりました。$x \in P$

3. それ以外の場合、オラクルによって返された違反のある半スペースをとします。ましょうyは直交投影であるXにS。 $S$$y$$x$$S$

   • 少なくとも一つが存在する場合はようにY ∉ Tは、あなたがやった：Pは空です。$T \in H$$y \not \in T$$P$
   • そうでない場合に設定さ、及び集合X ：= yと。 $H := H \cup \{S\}$$x := y$

4. 1に戻ります。