タグ付けされた質問 「proof-techniques」

複数の定理を証明するための一般的な方法と手法に関する質問。単一のステートメントの証明について尋ねるときは、代わりに証明の内容に関連するタグを使用してください。

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文法が明確であることを証明する方法は？
私の問題は、文法が明確であることをどのように証明できますか？私は次の文法を持っています： S→statement∣if expression then S∣if expression then S else SS→statement∣if expression then S∣if expression then S else SS → statement ∣ \mbox{if } expression \mbox{ then } S ∣ \mbox{if } expression \mbox{ then } S \mbox{ else } S これを明確な文法にすると、正しいと思います： S→S1∣S2S→S1∣S2 S → S_1 ∣ S_2 S1→if expression then …
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下限を証明することは本当に可能ですか？
計算上の問題がある場合、そのような計算の下限を見つけるタスクは本当に可能ですか？私はそれが単一の計算ステップがどのように定義され、どのモデルが証明に使用されるかを要約すると思いますが、それを考えると、実際に一般的に下限を証明しますか？私が意味することは、私たちは「問題のように何かを証明することができるであるより速く解くことができないではなく、」問題のある時間「で解決することができる時間またはより高速な」？XXXt(X)t(X)t(X)XXXt(X)t(X)t(X) 特に下限とその証拠に関する情報を見つけようとしましたが、興味のあるもの、主題に関する書籍/論文/ウェブサイトに関する推奨事項を実際に見つけることができませんか？
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シャッフルアルゴリズムの正しさを証明する方法は？
アイテムのリストをランダムな順序で作成する方法は2つありますが、それらが同等に公平であるかどうかを判断したいです 私が使用する最初の方法は、要素のリスト全体を作成してから、シャッフルを実行することです（Fisher-Yatesシャッフルなど）。2番目の方法は、挿入のたびにリストをシャッフルする反復的な方法です。擬似コードでは、挿入関数は次のとおりです。 insert( list, item ) list.append( item ) swap( list.random_item, list.last_item ) この特定のシャッフルの公平性を示す方法に興味があります。このアルゴリズムが使用される場合、このアルゴリズムの利点は、わずかに不公平であっても大丈夫です。決定するには、その公平性を評価する方法が必要です。 私の最初のアイデアは、この方法で可能な合計順列と、最終的な長さのセットで可能な合計順列を計算する必要があるということです。ただし、このアルゴリズムから生じる順列の計算方法については少し迷っています。また、これが最良の、または最も簡単なアプローチであると確信することもできません。
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構成主義の論理には決定不能な言語が存在しますか？
構成主義論理は、排除された中間の法則と二重否定を公理として取り除くシステムです。ウィキペディアのこちらとこちらで説明されています。特に、システムは矛盾による証明を許可していません。 私は、これがチューリングマシンと形式言語に関する結果にどのように影響するかをよく知っている人はいますか？言語が決定不能であることのほとんどすべての証明は、矛盾による証明に依存していることに気づきます。対角化引数と縮約の概念の両方がこのように機能します。決定不可能な言語の存在の「建設的な」証拠はありえますか？もしそうなら、それはどのように見えるでしょうか？ 編集：明確にするために、構成主義の論理における矛盾による証明の私の理解は間違っていました、そして答えはこれを明確にしました。
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L = L（G）と表示する方法は？
正式な文法を与えることによって正式な言語を指定することは頻繁に行われます。言語を記述するだけでなく、言語を解析するため、または適切な科学を行うためにも文法が必要です。すべての場合において、手元の文法が正しいこと、つまり希望する単語を正確に生成することが重要です。 正式な証明を省略して、なぜ文法が目的の言語の適切な表現であるのかを高レベルで議論することができます。しかし、何らかの理由で疑問がある場合、または正式な証拠が必要な場合はどうでしょうか？適用できる手法は何ですか？ これは参照質問になると思われます。したがって、少なくとも1つの例で説明されているが、多くの状況をカバーする、一般的で教訓的に提示された答えを与えるように注意してください。ありがとう！
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私たちはそれが何であるかを知りませんが、存在する可能性のあるアルゴリズムはありますか？
数学では、非構成的な存在証明がたくさんあります。そのため、特定のオブジェクトが存在することはわかっていますが、それを見つける方法はわかりません。 コンピューターサイエンスでも同様の結果を探しています。特に、アルゴリズムを表示せずに決定可能であることを証明できる問題はありますか？つまり、アルゴリズムで解決できることはわかっていますが、アルゴリズムがどのように見えるのかわかりませんか？
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計算の2つのモデルが同等であることを示す方法は？
計算の2つのモデルが同等であることを証明する方法について説明を求めています。同等性の証明が省略されていることを除いて、私は主題に関する本を読んでいます。計算の2つのモデルが同等であることの意味についての基本的な考えがあります（オートマトンビュー：同じ言語を受け入れる場合）。同等性について他に考える方法はありますか？チューリングマシンモデルがラムダ計算と同等であることを証明する方法を理解できれば、それで十分です。
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入力文字列の長さの帰納法を使用して証明を書くにはどうすればよいですか？
私のコンピューティング理論コースでは、多くの問題は、入力文字列の長さの帰納法を使用して、有限オートマトンに関するステートメントを証明することを伴います。私は数学的帰納法を理解していますが、文字列が出てくると、本当につまずきます。誰かがそのような証拠を段階的に作成するプロセスを経てくれたら本当に感謝しています。 問題の例は次のとおりです（Hopcroft and Ullman 3rd Editionの演習2.2.10）： 次の遷移表を持つDFAを検討してください。 0 1 ________ -> A | AB * B | BA このDFAで受け入れられている言語を非公式に記述し、入力文字列の長さの帰納法により、記述が正しいことを証明します。 これは本の中で答えられた問題なので、宿題をする人を探していません。誰かが私にそれをまっすぐに説明してくれるだけです。 本の答え：（ここ から引用） オートマトンは、1の数が偶数（状態A）か奇数（状態B）かを判断し、後者の場合は受け入れます。| w |の簡単な帰納法です。wが1の偶数である場合にのみ、dh（A、w）= Aであることを示します。根拠：| w | =0。その後、空の文字列には必ず1の偶数、つまりゼロの1があり、δ-hat（A、w）= Aになります。 帰納法：wより短い文字列のステートメントを想定します。次に、w = za、ここでaは0または1です。 ケース1： a =0。wの偶数が1の場合、zも同じです。帰納的仮説により、δ-hat（A、z）=A。DFAの遷移はδ-hat（A、w）= Aを示します。wが1の奇数である場合、zも同様です。帰納的仮説、δ-hat（A、z）= B、およびDFAの遷移により、δ-hat（A、w）= Bがわかります。したがって、この場合、δ-hat（A、w）= wが1の偶数である場合に限ります。 ケース2： a =1。wの偶数が1の場合、zの奇数は1です。帰納的仮説により、δ-hat（A、z）=B。DFAの遷移はδ-hat（A、w）= Aを示します。wの奇数が1の場合、zの偶数は1の。帰納的仮説、δ-hat（A、z）= A、およびDFAの遷移により、δ-hat（A、w）= Bがわかります。したがって、この場合もδ-hat（A、w ）= wが1の偶数である場合にのみ。 を帰納法で証明する方法を理解しています。私は、これが文字列の構築とどのように機能するのか混乱しています。太字の部分に混乱しています。彼らがどのように思い付いたのか、どのように受け入れられたものを実際に証明したのか、それがどのように帰納的であるのかがわかりません。∑ni = …
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マスター定理を使用する場合の仮定
マスター定理は、特定の種類の再発を解決するための美しいツールです。しかし、私たちはそれを適用するとき、しばしば不可欠な部分に光沢をつけます。たとえば、Mergesortの分析中は、 T(n)=T(⌊n2⌋)+T(⌈n2⌉)+f(n)T(n)=T(⌊n2⌋)+T(⌈n2⌉)+f(n)\qquad T(n) = T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + T\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil\right) + f(n) に T′（n ）= 2 T′（n2） +f（n ）T′（n）=2T′（n2）+f（n）\qquad T'(n) = 2 T'\left(\frac{n}{2}\right) + f(n) のみを考慮します。Tは「うまく」動作するので、このステップが有効であること、つまりことを保証します。一般に、bを共通分母としてn = b kと仮定します。n = 2kn=2kn=2^kT∈ Θ （T′）T∈Θ（T′）T \in \Theta(T')TTTn=bkn=bkn=b^kbbb 悪質なを使用すると、この単純化を許可しない繰り返しを簡単に作成できfffます。たとえば、上記のTの繰り返しTTT\,/T′T′\,T'と f(n)={1n,n=2k,elsef（n）={1、n=2kn、他に\qquad f(n) = \begin{cases} 1 &, n=2^k \\ n &, \text{else} \end{cases} マスター定理を通常の方法で使用してを生成しΘ(n)Θ（n）\Theta(n)ますが、明らかにように成長するサブシーケンスがありますΘ(nlogn)Θ（nログ⁡n）\Theta(n …
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split-ratioが
フォームの再発を解決する一般的な方法はありますか： T（n ）= T（n − nc）+ T（nc）+ f（n ）T（n）=T（n−nc）+T（nc）+f（n）T(n) = T(n-n^c) + T(n^c) + f(n) 以下のためのc&lt;1c&lt;1c < 1、又はより一般的に T(n)=T(n−g(n))+T(r(n))+f(n)T(n)=T(n−g(n))+T(r(n))+f(n)T(n) = T(n-g(n)) + T(r(n)) + f(n) ここで、g(n),r(n)g(n),r(n)g(n),r(n)の一部のサブ線形関数であるnnn。 更新：以下に提供されているリンクを確認し、Jeff Ericksonのメモに記載されているすべての再発関係を確認しました。この形式の再発については、どこでも説明していません。Akkra-Bazi法は、分割が分数の場合にのみ適用されます。痛烈な参照は評価されます。
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アルゴリズムを記述し、それらを証明し、分析する方法は？
The Art of Computer Programming（TAOCP）を読む前に、これらの質問を深く考えたことはありません。擬似コードを使用してアルゴリズムを記述し、それらを理解し、成長の順序についてのみ実行時間を推定します。TAOCPは徹底的に私の心を変更します。 TAOCPは、ステップとgotoを組み合わせた英語を使用してアルゴリズムを説明し、フローチャートを使用してアルゴリズムをより簡単に描写します。低レベルのように見えますが、特にフローチャートにはいくつかの利点があることに気付きました。計算がその矢印をたどるときの現在の状態についてのアサーションで各矢印にラベルを付け、アルゴリズムの帰納的証明を行うことができます。著者は言う： 著者の主張は、図4で行われたように、すべてのアサーションが暗黙的に満たされた点に到達した場合にのみアルゴリズムが有効である理由を本当に理解しているということです。 私はそのようなことを経験していません。別の利点は、各ステップが実行される回数をカウントできることです。キルヒホッフの最初の法則で確認するのは簡単です。実行時間を正確に分析していないため、実行時間を推定するときに一部が省略された可能性があります。±1±1\pm1 成長の順序の分析は役に立たない場合があります。たとえば、クイックソートとヒープソートはすべてであるため区別できません。ここで、はランダム変数予想数です。したがって、定数を分析する必要があります。およびしたがって、と良い。また、場合によっては、分散などの他の量を比較する必要があります。実行時間の増加順序の大まかな分析だけでは十分ではありません。TAOCPとしてE(T(n))=Θ(nlogn)E（T（n））=Θ（nログ⁡n）E(T(n))=\Theta(n\log n)EXEバツEXXバツXE(T1(n))=A1nlgn+B1n+O(logn)E（T1（n））=A1nlg⁡n+B1n+O（ログ⁡n）E(T_1(n))=A_1n\lg n+B_1n+O(\log n)E(T2(n))=A2lgn+B2n+O(logn)E(T2(n))=A2lg⁡n+B2n+O(log⁡n)E(T_2(n))=A_2\lg n+B_2n+O(\log n)T1T1T_1T2T2T_2 アルゴリズムをアセンブリ言語に変換し、実行時間を計算します。私にとっては難しすぎるので、実行時間をもう少し大まかに分析するためのテクニックを知りたいと思います。これは、C、C ++または擬似コード。 そして、主に研究活動で使用されている記述スタイルと、これらの問題の処理方法を知りたいです。
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ポンピング補題を満たしているが、規則的ではない言語？
通常の言語を考えると、それは一定であることを証明することは容易であるNである、そのようなσ ∈ Lとは、| σ | ≥ Nの文字列が存在するα、βおよびγ、このような| α β | ≤ Nと| β | ≠ ε、およびすべてのためのkそれはα β kの γ ∈ LLLLNNNσ∈Lσ∈L\sigma \in L|σ|≥N|σ|≥N\lvert \sigma \rvert \ge Nαα\alphaββ\betaγγ\gamma|αβ|≤N|αβ|≤N\lvert \alpha \beta \rvert \le N|β|≠ϵ|β|≠ϵ\lvert \beta \rvert \ne \epsilonkkkαβkγ∈Lαβkγ∈L\alpha \beta^k \gamma \in L。その逆は真実ではないと広く言われていますが、明確な例は見ていません。助言がありますか？明らかに、攻撃的な言語が規則的ではないという証拠は、典型的な「ポンピング補題を満たさない」よりも強力な方法を使用する必要があります。私は簡単な例に興味があり、入門的な公式言語クラスで発表します。
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Xの問題がX-Completeではないことを示す
レアルの実存論であるPSPACE、私はそれがあるかどうかわからない PSPACEコンプリート。そうでないと思う場合、どうすればそれを証明できますか？ より一般的には、複雑度クラスXに問題がある場合、 X-Completeではないことをどのように示すことができますか？たとえば、XはNP、PSPACE、EXPTIMEになります。
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問題がNP完全ではないことを証明する方法は？
NP完全ではない問題を証明する一般的な手法はありますか？ 試験でこの質問を受けて、問題（下記参照）がNP-Completeであるかどうかを尋ねました。私は本当の解決策を考えることができず、それがPにあることを証明しただけです。明らかにこれは本当の答えではありません。 NP-Completeは、NPに存在する問題のセットとして定義され、すべてのNP問題をそれに限定できます。したがって、これらの2つの条件のうち少なくとも1つは、証拠と矛盾するはずです。この特定の問題は、実際にはP（およびNP）にあります。したがって、NPにはこの問題に還元できない問題があることを証明することに固執しています。いったいどうやってこれを証明できるの?? 試験で与えられた特定の問題は次のとおりです。 してみましょう内の文字列の集合とする選言標準形。してみましょうD N F S A Tはから文字列の言語もD N F変数の一部譲渡により、満足できるです。D N F S A TがNP-Completeであるかどうかを示します。DNFDNFDNFDNFSATDNFSATDNFSATDNFDNFDNFDNFSATDNFSATDNFSAT
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シンプルな書き換えシステムの合流性証明
次の用語で構成される単純な言語があるとします。 truetrue\mathtt{true} falsefalse\mathtt{false} 場合用語では、次いで、そうでi ft1,t2,t3t1,t2,t3t_1,t_2,t_3ift1thent2elset3ift1thent2elset3\mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 ここで、次の論理評価ルールを想定します。 iftruethent2elset3→t2[E-IfTrue]iffalsethent2elset3→t3[E-IfFalse]t1→t′1ift1thent2elset3→ift′1thent2elset3[E-If]iftruethent2elset3→t2[E-IfTrue]iffalsethent2elset3→t3[E-IfFalse]t1→t1′ift1thent2elset3→ift1′thent2elset3[E-If] \begin{gather*} \dfrac{} {\mathtt{if}\: \mathtt{true} \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to t_2} \text{[E-IfTrue]} \quad \dfrac{} {\mathtt{if}\: \mathtt{false} \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to t_3} \text{[E-IfFalse]} \\ \dfrac{t_1 \to t_1'} {\mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to \mathtt{if}\: t_1' \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: …
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