ポンピング補題を満たしているが、規則的ではない言語？

通常の言語を考えると、それは一定であることを証明することは容易であるNである、そのようなσ ∈ Lとは、| σ | ≥ Nの文字列が存在するα、βおよびγ、このような| α β | ≤ Nと| β | ≠ ε、およびすべてのためのkそれはα β kの γ ∈ $L$$N$$\sigma \in L$$\lvert \sigma \rvert \ge N$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lvert \alpha \beta \rvert \le N$$\lvert \beta \rvert \ne \epsilon$$k$$\alpha \beta^k \gamma \in L$。その逆は真実ではないと広く言われていますが、明確な例は見ていません。助言がありますか？明らかに、攻撃的な言語が規則的ではないという証拠は、典型的な「ポンピング補題を満たさない」よりも強力な方法を使用する必要があります。私は簡単な例に興味があり、入門的な公式言語クラスで発表します。

言語簡単であると思われます。2番目の部分は規則的です（ポンプで汲み上げることができます）。最初の部分は規則的ではありませんが、ポンプするために$を選択することで、2番目の部分に「注入」できます。$\{ \$ a^nb^n \mid n \ge 1 \} \cup \{ \$^kw \mid k\neq 1, w\in \{a,b\}^* \}$$\$$

（追加）もちろん、これはに一般化することができるのための任意のL ⊆ { 、B } *。定式は「if ... then ...」スタイルである場合があります。wが単一の$で始まる場合は、次の形式になります。個人的には直観的ではないと思います。$\$L \cup \{ \$^k \mid k\neq 1 \} \cdot \{a,b\}^*$ $L\subseteq \{a,b\}^*$$w$$\$$

$\$\{a,b\}^*$