私たちはそれが何であるかを知りませんが、存在する可能性のあるアルゴリズムはありますか？

数学では、非構成的な存在証明がたくさんあります。そのため、特定のオブジェクトが存在することはわかっていますが、それを見つける方法はわかりません。

コンピューターサイエンスでも同様の結果を探しています。特に、アルゴリズムを表示せずに決定可能であることを証明できる問題はありますか？つまり、アルゴリズムで解決できることはわかっていますが、アルゴリズムがどのように見えるのかわかりませんか？

私が知っているアルゴリズムの中で最も単純なケースは、どのアルゴリズムが有限状態オートマトンに関するかはわかりませんが。

言語による言語の商は、として定義され。L 1 L 2 L 1 / L 2 = { X | ∃ Y ∈ L 2  、その結果  のX 、Y ∈ L 1$L_1/L_2$$L_1$$L_2$$L_1/L_2=\{x \mid \exists y\in L_2 \text{ such that } xy\in L_1\}$

通常の集合は、任意の集合による商の下で閉じられることが簡単に証明されます。言い換えると、が規則的で、が任意である（必ずしも規則的ではない）場合、も規則的です。L 2 L 1 / L $L_1$$L_2$$L_1/L_2$

証明は非常に簡単です。LET定期的なセット受け入れるFSAである、及びそれぞれの状態の集合と受け入れ状態の集合であり、およびlet、任意の言語です。LET最終状態は、Aを受け入れることによって到達可能な状態の集合でありますからの文字列。$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$Q F L F ' = { Q ∈ Q | ∃ Y ∈ $R$$Q$$F$$L$$F'=\{q\in Q\mid \exists y\in L \;\;\delta(q,y)\in F\}$$L$

オートマトン、最終状態の セットのみがと異なり、正確に認識します。（または、この事実の証拠については、Hopcroft-Ullman 1979、62ページを参照してください。）M F ′ R /$M'=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F')$$M$$F'$$R/L$

ただし、集合が決定可能でない場合、どの状態にを定義するプロパティがあるかを決定するアルゴリズムがない場合があります。したがって、集合はサブセットであることはわかっていますが、どのサブセットを決定するアルゴリズムもありません。その結果、が可能なFSAの1つによって受け入れられることはわかっていますが、それがどれであるかはわかりません。私は告白しなければなりませんが、私たちはそれがどのように見えるかを大部分知っています。F ′ F ′ Q R 2 | Q $L$$F'$$F'$$Q$$R$$2^{|Q|}$

これは、ほぼ建設 的な証明と呼ばれることもある例です。つまり、有限数の回答の1つが正しいものであることの証明です。

その拡張は、列挙可能な答えのセットの1つが正しいものであるという証拠になる可能性があると思います。しかし、私は知りません。また、たとえば矛盾のみを使用して、何らかの問題が決定可能であるという純粋に非構造的な証拠も知りません。

ヘンドリックの元のコメントを拡張するには、この問題を検討してください

整数が与えられた場合、 10進展開で以上の連続した7が実行されますか？のn $n\ge 0$$n$$\pi$

次の2つのケースのいずれかが得られる可能性があるため、この問題は決定可能です。

1. 整数があり、 10進数展開には連続した7の実行が含まれますが、実行されなくなりました。π $N$$\pi$$N$
2. 任意のためにの拡張の実行されたの連続した7Sを。π $n$$\pi$$n$

（1）の場合、問題の決定アルゴリズムは次のいずれかです。

場合は「no」と答え、そうでない場合は「yes」と答えます。$n > N$

（2）の場合、アルゴリズムは

「はい」と答えます。

明らかにこれらはそれぞれ決定アルゴリズムです。どちらか分からないだけです。十分で、決定可能性のみ必要とするため、しかしその存在アルゴリズムではなく、明細書の使用にアルゴリズム。

ここに答えはありません。私はもともと反対を主張し、8人が@sdcwcが間違いを指摘する前に賛成票を投じることに同意したため、有益だと思うので投稿しています。多くの人が間違っていると知っていたとしても、それを支持していたかどうかわからないので、私は最初の答えを編集したくありませんでした。

$S$$S$

$H$$H$