構成主義の論理には決定不能な言語が存在しますか？

構成主義論理は、排除された中間の法則と二重否定を公理として取り除くシステムです。ウィキペディアのこちらとこちらで説明されています。特に、システムは矛盾による証明を許可していません。

私は、これがチューリングマシンと形式言語に関する結果にどのように影響するかをよく知っている人はいますか？言語が決定不能であることのほとんどすべての証明は、矛盾による証明に依存していることに気づきます。対角化引数と縮約の概念の両方がこのように機能します。決定不可能な言語の存在の「建設的な」証拠はありえますか？もしそうなら、それはどのように見えるでしょうか？

編集：明確にするために、構成主義の論理における矛盾による証明の私の理解は間違っていました、そして答えはこれを明確にしました。

はい。矛盾を導き出すために除外された中間を必要としません。特に、対角化は引き続き機能します。

ここではコナー・マクブライドによる典型的な対角化引数があります。この特定の対角化は、決定性ではなく不完全性に関するものですが、考え方は同じです。注目すべき重要な点は、彼が導き出す矛盾は「PではなくP」という形式ではなく、「x = x + 1」という形式であるということです。

もちろん、今、あなたは建設的な論理が矛盾として「x = x + 1」を認めるかどうか疑問に思うかもしれません。します。矛盾の主な特性は、矛盾から何かが続くということです。「x = x + 1」を使用すると、2つの自然数に対して「x = y」を実際に建設的に証明できます。

建設的な証明について異なる可能性のあることの1つは、「決定不能」の定義方法です。古典的な論理では、すべての言語は決定可能または決定不能でなければなりません。したがって、「決定不能」は単に「決定不能」を意味します。ただし、建設的な論理では、「not」は原始的な論理演算ではないため、このように決定不能性を表現することはできません。代わりに、決定可能だと仮定すると矛盾が生じる場合、言語は決定不能であると言います。

実際、「not」は建設的なロジックのプリミティブではありませんが、通常、「not P」は「Pを使用して矛盾を構築できる」ための構文糖として定義されるため、実際には矛盾による証明が唯一の方法です「L言語は決定不能」などの「not P」という形式のステートメントを建設的に証明します。

古典的なステートメントの証明可能性について建設的に話すとき、それらをどのように定式化するかがしばしば重要になります。古典的に同等の定式化は建設的に同等である必要はありません。また、建設的な証明によってあなたが正確に意味することは重要です、建設主義のさまざまな学校があります。

例えば、計算不可能な全機能があるという声明は、教会チューリング論文（すなわち、すべての機能が計算可能）を公理と仮定する建設的な数学のフレーバーには当てはまりません。

一方、注意が必要な場合は、証明可能なように定式化できます。計算可能な関数全体の計算可能な列挙には、列挙にない計算可能な関数があります。

Andrej Bauerによるこの投稿はおもしろいかもしれません。

ps：カテゴリー理論の観点から対角化も見ることができます。見る

• フランシス・ウィリアム・ローヴェール、「対角論とデカルト閉圏」、1969

私が考えるカーディナリティの証明がまだ計算言語（そう、間違いなく決定不能）でない言語の存在を実証し、保持しています。

即時の証明は非常に単純で、チューリングマシンが有限のアルファベット（バイナリである場合もある）でエンコードされていることを単純に観察しているため、数え切れないほど多くあり、固定アルファベットを超えるすべての言語のセット（バイナリである場合もあります） ）は、そのアルファベットの文字列セットのすべてのサブセットのセットです。つまり、可算セットの累乗セットであり、不可算でなければなりません。そのため、言語よりもチューリングマシンが少ないため、計算はできません。

これは十分に建設的であるように思えます（物理的に追求することは不可能ですが、いくつかの言語を指して、計算できないことを知る方法を提供します）。

次に、可算セットと不可算セットのカーディナリティが異なること、特に対角化を回避することを示すことができるかどうかを尋ねる場合があります。これはまだ可能だと思います。カントールの元の議論も適切に建設的であるようだ。

もちろん、これは実際に構成主義論理についてもっとよく知っている人によってチェックされる必要があります。

対角化の議論は建設的であることに他の人も同意すると思いますが、一部のサークルではこのことについて意見の相違があります。

つまり、すべての決定可能な言語のセットを見ていると仮定します。対角化を使用して、決定できない言語を構築できます。歴史的にはこれらは関連するアークだと思いますが、「構成主義」と「フィニズム」はまったく同じものだとは思わないことは注目に値します。

まず、私は誰でも-構成主義者でさえ-決定可能な言語のセットは数えられることに同意すると思います。チューリングマシンのセットは数えられるため（有限の文字列を使用してすべての有効なTMをエンコードできます）、この合意は非常に簡単に続きます。

$L_1, L_2, ..., L_k, ...$

1. $0^i$
2. $0^i \in L_i$$0^i$
3. $0^i \notin L_i$$0^i$

$n$$L_1, L_2, ..., L_n$

技術的には、「決定不可能」な言語を構築しました。構成主義者が「決定不能」を「決定不能」と混同すべきではないと主張するかどうかは興味深い質問ですが、私は答えるのに不十分です。

明確にするために、これが示すと思うことは次のとおりです。チューリング機械によって決定されない言語が存在することを建設的に証明することができます。特定のフレームワーク内でそれをどのように解釈するかは、難しい質問です。