切り捨てられたRV導出の条件付き予想、Gumbel分布（ロジスティック差異）
私は独立同一分布している2つの確率変数、すなわち持っ：ϵ1,ϵ0∼iidGumbel(μ,β)ϵ1,ϵ0∼iidGumbel(μ,β)\epsilon_{1}, \epsilon_{0} \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Gumbel}(\mu,\beta) F(ϵ)=exp(−exp(−ϵ−μβ)),F(ϵ)=exp(−exp(−ϵ−μβ)),F(\epsilon) = \exp(-\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})), f(ϵ)=1βexp(−(ϵ−μβ+exp(−ϵ−μβ))).f(ϵ)=1βexp(−(ϵ−μβ+exp(−ϵ−μβ))).f(\epsilon) = \dfrac{1}{\beta}\exp(-\left(\frac{\epsilon-\mu}{\beta}+\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})\right)). 2つの量を計算しようとしています。 Eϵ1Eϵ0|ϵ1[c+ϵ1|c+ϵ1>ϵ0]Eϵ1Eϵ0|ϵ1[c+ϵ1|c+ϵ1>ϵ0]\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[c+\epsilon_{1}|c+\epsilon_{1}>\epsilon_{0}\right] Eϵ1Eϵ0|ϵ1[ϵ0|c+ϵ1<ϵ0]Eϵ1Eϵ0|ϵ1[ϵ0|c+ϵ1<ϵ0]\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[\epsilon_{0}|c+\epsilon_{1}<\epsilon_{0}\right] 私は、フォームの何かで統合を行う必要があるポイントに到達します：。これは、閉じたフォームに積分がないようです。誰かがこれを手伝ってくれる？多分私は何か間違ったことをした。eexeexe^{e^{x}} 私は間違いなく閉じた形のソリューションがあるべきだと感じています。（編集：それが閉じた形式ではない場合でも、積分をすばやく評価するためのソフトウェアがある[Ei（x）など]があれば、それは大丈夫だと思います。） 編集： 変数の変更に伴い、 およびy=exp(−ϵ1−μβ)y=exp(−ϵ1−μβ)y =\exp(-\frac{\epsilon_{1}-\mu}{\beta}) μ−βlny=ϵ1μ−βlny=ϵ1\mu-\beta\ln y =\epsilon_{1} これはおよび [ 0 、[0,∞)[0,∞)[0,\;\infty)それぞれ。[0,exp(−ϵ0−c−μβ)][0,exp(−ϵ0−c−μβ)]\left[0,\;\exp(-\frac{\epsilon_{0}-c-\mu}{\beta})\right] 。次に、変数の変更の下で、（1）を煮詰めました...|J|=|dϵdy|=βy|J|=|dϵdy|=βy|J|=|\dfrac{d\epsilon}{dy}|=\frac{\beta}{y} ∫∞011−e−x(∫∞μ−βlnx−c[c+μ−βlny]e−ydy)e−xdx∫0∞11−e−x(∫μ−βlnx−c∞[c+μ−βlny]e−ydy)e−xdx\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1-e^{-x}}\left(\int_{\mu-\beta\ln x-c}^{\infty}\left[c+\mu-\beta\ln y\right]e^{-y}dy\right)e^{-x}dx 代数の間違いがあるかもしれませんが、私はまだこの積分を解決できません... 関連質問：iidガンベル変数の最大値への期待