「予期しない」期待

モンテカルロの専門家がこの回答の最後にある「予期しない」期待を説明できますか？

事後他の質問/答えの要約：もし IID確率変数と期待されているその後、存在する場合、単純な対称性の引数を示しているですが、モンテカルロ実験は、この命題と矛盾しているようです。 $X_1,\dots,X_n$ $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$ $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]=1$ $X_i\sim\mathrm{N}(0,1)$

x <- matrix(rnorm(10^6), nrow = 10^5)
mean(x[,2]/rowMeans(x))

[1] 5.506203

— 禅
ソース

奇妙な値をとる比率モンテカルロ評価への説明は、期待が存在しないことです。コーシーの変換としてあなたに標準例。確かに、はありませんと同等なので、で可積分です。 $\mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)]$ $X_1/X_2$

\begin{aligned} E [X_{1} / (X_{1} + X_{2})] & = E [1 / (1 + X_{2} / X_{1})] \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + y} \frac{1}{π (1 + y^{2})} d y \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)] &=\mathbb{E}[1/(1+X_2/X_1)]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+y}\,\frac{1}{\pi(1+y^2)}\text{d}y \end{align*}$

y = - 1

$y=-1$

(y + 1)^{- 1}

$(y+1)^{-1}$

そのノートコーシー変量ではなく、機能によってコーシー変量の変換理由でありますそのおよびそのここで、です。 $X_1/\bar{X}$

f : y \to \frac{n}{1 + \sqrt{n - 1} y}

$f:\ y \to \dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}y}$

(X_{2} + \dots + X_{n}) \sim N (0, n - 1)

$(X_2+\ldots+X_n)\sim\text{N}(0,n-1)$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} = \frac{n}{1 + (X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}} = \frac{n}{1 + \sqrt{n - 1} Z / X_{1}}

$\frac{X_1}{\bar{X}}=\dfrac{n}{1+(X_2+\ldots+X_n)/X_1}=\dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}Z/X_1}$

Z \sim N (0, 1)

$Z\sim\text{N}(0,1)$

以下のように、そのノート無限大に成長確率変数の分布の収束に等しい確率で。 $n$ $X_1/\bar{X}$ $\pm \infty$ $1/2$

— 西安
ソース

1

$1$

はい、対称性の議論は機能しますが、そもそも期待が存在する場合に限ります...もちろん...

— Zen

@西安：あなたはこれがコーシーではないことについて正しい、そしてあなたの答えはスポットオンです。回答は誤解を招くので、削除します。

— ステファンコラサ2017年