競合する負の二項

私は公正なサイコロを振っています。最初に次のいずれかを蓄積するまでのロール数の確率分布は次のとおりです。1）5つのロール2）1ではない顔の20回の出現？

それが助けになるなら、私は実際のアプリケーションを共有してうれしいです。

もし確率でコインを投げるの等価実行されのいずれかになるまでヘッドを= 5頭又はB = 20のテール（「非ヘッド」）が登場しています。n回スローした場合、このイベントが発生しない可能性は、次のように二項分布によって与えられます。$p=1/6$$a=5$$b=20$$n$

$$S(n;a,b,p) = \sum_{k=\max(0,n-b+1)}^{\min(n,a-1)} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}.$$

（下限が上限を超えると、合計はゼロになります。）

従ってチャンスこといずれかのスローあるヘッド又は尾部が最初に観察さであります$n\gt 0$$a$$b$

$$f(n;a,b,p) = S(n-1;a,b,p) - S(n;a,b,p).$$

または場合これは明らかにでなければなりません。したがって、分布全体を簡単にレポートできます。以下は、これらの式で計算されたからまでの確率関数プロットです。$0$$n \lt \min(a,b)$$n \ge a+b$$f$$0$$a+b=25,$

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この簡単な解決策は、さらに簡単になり（と投げがで終了するかどうかについての追加情報生み出すヘッドまたは尾）私たちは質問がでランダムウォークとして額装することができます認識したとき平面を。$a$$b$$(x,y)$

原点開始します。コインが表に出るたびに、1ユニット上に移動します。それ以外の場合は、1ユニット右に移動します。吸収バリアまたはいずれかが最初にヒットしたときに停止します。$(0,0)$ $y=a$$x=b$

この状況の形状を2番目の図に示します。このウォークで到達できるポイントをプロットし、吸収するバリアを黒い線で示します。それらのバリアに沿った可能な終点は黒い点でマークされています。

この歩行の1000回の反復で各終点に達した回数は、大きい点の色とサイズで示されます。赤で示されたパスは、1つの尾が観察され、次に1つの頭、次に10つの尾、1つの頭、1つの尾、2つの頭、4つの尾、1つの頭が観察されたシーケンスに対応しています。全部で21枚のコイントスで構成されていました。

吸収バリアの特定のポイントに到達する各パスは、テールとヘッドで構成されているため、ます。明らかに、で終了するパスの最後の結果はヘッドでした。したがって、そのようなパスの数は、をに接続する個別のパスの数であり、その中にます。したがって、で終了する可能性は$(x,y)$$x$$y$$p^y(1-p)^x$$(x,a)$$(0,0)$$(x,a-1)$$\binom{x+a-1}{a-1}$$(x,a)$

$$\Pr(x,a) = \binom{x+a-1}{a-1} p^{a}(1-p)^x.$$

同様に、で終了する可能性は$(b,y)$

$$\Pr(b,y) = \binom{y+b-1}{b-1} p^y(1-p)^b.$$

したがって、でステップ後に終了する可能性は、そのような2つの式の合計です（そのうちの1つはゼロの場合があります）。$n$$\min(a,b)\le n \lt a+b-1$

$$f(n;a,b,p) = \binom{n-1}{a-1} p^a(1-p)^{n-a} + \binom{n-1}{b-1} p^{n-b}(1-p)^b\text{ if }\min(a,b)\le n \lt a+b.$$

これは、それぞれ上部または右側にある吸収バリアに到達するパスの数をカウントし、それぞれの確率をその確率で重み付けします。$n$

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最初の図のでの確率の突然の跳躍について説明します。$n=20$初めて（小さい値と比較して）、右側のバリアでトスを終了することが可能になります。これは、多くの場合に発生します。なぜなら、トップバリアに到達する前に、正しいバリアに到達する可能性が（少し）高いからです。（最初に右のバリアに到達する可能性は、その5つのポイントに関連付けられている確率を合計することで簡単に見つかります。これは、ほぼです。）平均してパスが上がるため、右のバリアでウォークを終了する可能性が高くなります。時間の1単位だけ右に移動します$n$$63\%$$p=1/6$$1-p=5/6$時間の平均勾配のため。その傾斜のあるパスは、位置の吸収領域に到達します。右側のバリア上。$1/6:5/6 = 1/5$$(20, 20/5)=(20,4)$

それに寝て、私は戦略がこれであるかもしれないと思います：

1. 負の二項確率分布のそれぞれを条件付き確率に変換します。つまり、n-1ロールで5を獲得していないことを条件として、n番目のロールで5を獲得する確率はどのくらいですか？

n = 1から十分な大きさまで、

2. 2つの条件付き確率を合計し、補数にS（n-1）を掛けます。これは、（n-1）番目のロールまでの累積「生存」です。

3. 連続する差S（n-1）-S（n）を取り、確率分布を復元します。

設定は、市販されている健康製品の安全性を比較監視する1つです。あなたは2つの比較されたグループを持っています。イベントは薬剤Aまたは薬剤Bのいずれかに由来する可能性があるため、各有害事象は二項試験です。