うるう年の余分な日曜日の確率を見つける方法は？

うるう年に53日曜日がある確率はどれくらいですか？

私の裁判によると、それは2/7ですか？うるう年の366日は52週とあと2日を意味するため、余分な2日から、日曜日の確率は2/7になります。

PS：これは私が基本的な統計書で見つけた質問でした。

グレゴリオ暦では、うるう年の7日間のうち5日間が優先されます。したがって、チャンスは正確ではありません。$2/7$

これは、1950年のパトナム数学競技会の本質的に問題B3でした。

$n$は自然数からランダムに選択されます。年目の12月25日が水曜日である確率が1/7ではないことを示します。$n$

でグレゴリオ暦の倍数である年（と閏年である日）、しかしの倍数である年間閏年（したがって持たれていない日）、ただし倍数の年はうるう年です。（私たちの多くは最新の例外を覚えています。）これにより、うるう年を含む年サイクルが作成されます。7 × 52 + 2 = 366 100 7 × 52 + 1 = 365 400 2000 400 400 / 4 - 400 / 100 + 400 / 400 = $4$$7\times 52 + 2=366$$100$$7\times 52+1=365$$400$$2000$$400$$400/4 - 400/100 + 400/400 = 97$

特に興味深いのは、このサイクルの合計日数が7の整数倍であることです。

これは、年サイクルが整数の週で構成されていることを示しています。したがって、曜日のパターンは、あるサイクルから次のサイクルまでまったく同じです。$400$

したがって、この質問は、うるう年の年周期から無作為かつ均一にサンプリングするときに、日曜日の可能性を求めるものと解釈する場合があります。（と言う、2001年1月1日は、月曜日だったという事実を使用して）ブルートフォース計算を示していることのサイクル毎にうるう年を持っている日曜日を。したがって、チャンスは400 28 97 $53$$400$$28$$97$$53$

これははないことに注意してください。わずかに大きくなります。ちなみに、同じの可能性がある水曜日、金曜日、土曜日、または月曜日のみのチャンス火曜日または木曜日は。53 27 / 97 $28/98 = 2/7$$53$$27/97$$53$

より詳細な計算をしたい（そして数学的な単純化を信用しない可能性がある）人々のために、ここでは特定の年のセットの毎日を計算して調べるブルートフォースコードを示します。最後に、曜日ごとに回出現する年数が表示されます。で書かれています。 $53$R

サイクルの出力は次のです。$2001-2400$

Friday    Monday  Saturday    Sunday  Thursday   Tuesday Wednesday 
    28        28        28        28        27        27        28 

ここにコード自体があります。

leapyear <- function(y) {
  (y %% 4 == 0 & !(y%% 100 == 0)) | (y %% 400 == 0)
}
leapyears <- seq(2001, length.out=400)
leapyears <- leapyears[leapyear(leapyears)]
results <- sapply(leapyears, function(y) {
  table(weekdays(seq.Date(as.Date(paste0(y, "-01-01")), by="1 day", length.out=366)))
})
rowSums(results==53)

はい、あなたの推論は正しいです。長い目で見れば、うるう年はほぼ同じ曜日に始まる可能性が高いです。そのため、日曜日を含めて2日間余分に発生する可能性は約2/7です。

w Huberは、グレゴリオ暦の癖がうるう年の開始日を均一に分散させていないため、53日曜日の真の確率は1％程度で2/7より大きいと指摘しています。ただし、2/7は、ほぼ間違いなく、統計テキストの作成者があなたが見つけようとした回答です。