条件付き期待値との収束に関する技術的ポイント

ような一連の非負の変数があります $X_n$

E (X_{n} | C_{n}) = \frac{C_{n}}{n^{2}}

$E(X_n|C_n)=\frac{C_n}{n^2}$

ここで、はほぼ確実に収束する確率変数のシーケンスです。 $C_n$ $1$

がほぼ確実に0になる傾向があると結論付けられますか？ $X_n$

注：は有限和のシーケンスで置き換えることができます。質問は本質的に同じままであり、ジェイソンによって提供される答えはまったく同じように機能します（Borel-Cantelliの議論を参照）。 $\frac{1}{n^2}$

probability convergence conditional-expectation

— ブノワ・サンチェス
ソース

はい、 $X_{n} \to 0$ ほぼ間違いなく。私の主張は少し複雑ですので、我慢してください。

最初に、イベントについて考えます。ほぼ確認収束によってのことが以下の、およびので我々は。したがって、任意のについて、を内と同じように示すだけで十分です。 $F_{k} = \bigcup_{n \geq k} \{ C_{n} > 2 \}$ $C_{n}$ $P( \bigcap_{k} F_{k} ) = 0$ $F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$ $P(F_{k}) \to 0$ $X_{n} \to 0$ $F_{k}^{c}$ $k$

ここでと修正します。表記を表すために、これは一種の重要な部分です。（また、からより大きなイベントに渡すために、最初のステップで非負性を使用したことにも注意してください。）ここからは、かなり一般的な測定理論の引数。 $k$ $\varepsilon > 0$ $E[X; A]$ $E[X 1_{A}]$ $n \geq k$

E [X_{n}; F_{k}^{c}] \leq E [X_{n}; C_{n} \leq 2] = E [E (X_{n} | C_{n}); C_{n} \leq 2] = E [C_{n} / n^{2}; C_{n} \leq 2] \leq 2 / n^{2} .

$\begin{equation} E[X_{n} ; F_{k}^{c}] \leq E[X_{n} ; C_{n} \leq 2] = E[ E(X_{n} | C_{n}) ; C_{n} \leq 2] = E[ C_{n} / n^{2} ; C_{n} \leq 2 ] \leq 2 / n^{2}. \end{equation}$

X_{n}

$X_{n}$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

C_{n} \leq 2

$C_{n} \leq 2$

上記の範囲と非負性は、（）、つまり $X_{n}$ $P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) \leq \frac{2}{n^{2} \varepsilon}$ $n \geq k$

\sum_{n \geq k} P (F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε}) < \infty .

$\begin{equation} \sum_{n \geq k} P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) < \infty. \end{equation}$

ボレル-カンテッリ補題によって、イベント確率はゼロです。は任意であったので、これは同様にを取得します。

F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε for infinitely many n}

$\begin{equation} F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \, \text{for infinitely many $n$} \} \end{equation}$

ε

$\varepsilon$

X_{n} \to 0

$X_{n} \to 0$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

— ジェイソン
ソース

これは非常にわずかに任意の指数のためにあることを示すように変更することができる上のよう、、それは私には思えます。

α

$\alpha$

n

$n$

α > 1

$\alpha > 1$

X_{n} \to 0 a.s.

$X_n \to 0 \space \text{a.s.}$

— jbowman 2018年

どうもありがとう。ことにより、あなたの平均または？

E (X; A)

$E(X;A)$

E (X | A)

$E(X|A)$

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$

— Benoit Sanchez

あなたは意味します:-)多分あなたはそれについて言及するべきです。すべてが私には正しいようです、素晴らしい！正直なところ、単純な証明はないと思います。

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$

— Benoit Sanchez

、ブノワ、私はを意味しました。それを明確にするために編集します。

E (X 1_{A})

$E(X 1_{A})$

— Jason

設定します。次に、およびです。マルコフの不等式により、は有限和なので、Borel Cantelliにより、とほぼ確実です。 $Z_n=X_n/C_n$ $E[Z_n]=1/n^2$ $Z_n\ge 0$ $P(Z_n>\epsilon)\le E[Z_n]/\epsilon = 1/(n^2\epsilon)$ $P(Z_n>\epsilon \text{ infinitely often})=0$ $Z_n\to 0$

ほぼ確実で、ほぼ確実であれば、ほぼ確実です。 $Z_n\to0$ $C_n\to 1$ $X_n=Z_nC_n\to 0$

— ジュレック
ソース