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確率不等式は、他の方法では計算が難しいかもしれない境界数量に役立ちます。関連する概念は集中不等式であり、これは確率変数が特定の値からどれだけ離れているかについての限界を具体的に提供します。

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Hoeffdingの不等式を重要な統計的概念にしているものは何ですか？
Larry Wassermanは彼のブログに、昨年の秋にコースで取り上げようとしていたことについて投稿しています。彼はより現代的な問題を支持するためにいくつかの古典的なトピックを放棄していたと述べています。彼が言及する1つのトピックは、フッフェディングの不平等です。この結果が学生と開業医にとって特に重要なのはなぜですか。
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場合
連続確率変数の場合はXXX、場合E(|X|)E(|X|)E(|X|)有限で、あるlimn→∞nP(|X|&gt;n)=0limn→∞nP(|X|&gt;n)=0\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0？ これはインターネットで見つけた問題ですが、それが成り立つかどうかはわかりません。 nP(|X|&gt;n)&lt;E(|X|)nP(|X|&gt;n)&lt;E(|X|)n P(|X|>n)<E(|X|)がマルコフの不等式で成り立つことは知っていますが、nnnが無限大になると0になることを示すことはできません。
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または
確率テストを行ったので、この質問には答えられませんでした。それはちょうどこのようなものを尋ねました： 「考慮すること確率変数であり、X ⩾ 0、より高いか又は等しい何を証明するために正しい不等式を使用E （X 2 ）3、またはE （X 3 ）2。バツXXバツXX ⩾⩾\geqslant 000E(X2)3E(X2)3E(X^2)^3E(X3)2E(X3)2E(X^3)^2 私が考えた唯一のことはジェンセンの不平等でしたが、私はそれをここでどのように適用するか本当に知りません。
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マルコフ、チェビシェフの不等式が厳しいランダム変数
マルコフまたはチェビシェフの不等式が厳しい確率変数の作成に興味があります。 簡単な例は、次の確率変数です。 P （| X | ≥ 1 ）= 1P(X=1)=P(X=−1)=0.5P(X=1)=P(X=−1)=0.5P(X=1)=P(X=-1) = 0.5。その平均はゼロであり、分散は1であり、です。このランダム変数の場合、チェビシェフはタイトです（等しい値で保持されます）。P(|X|≥1)=1P(|X|≥1)=1P(|X| \ge 1) = 1 P(|X|≥1)≤Var(X)12=1P(|X|≥1)≤Var(X)12=1P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1 マルコフとチェビシェフがタイトである、より興味深い（非一様）確率変数はありますか？いくつかの例は素晴らしいでしょう。
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分布を見つけて正規分布に変換する
1時間にイベントが発生する頻度（「1時間あたりの数」、nph）とイベントが持続する時間（「1秒あたりの秒数」、dph）を説明するデータがあります。 これは元のデータです： nph &lt;- c(2.50000000003638, 3.78947368414551, 1.51456310682008, 5.84686774940732, 4.58823529414907, 5.59999999993481, 5.06666666666667, 11.6470588233699, 1.99999999998209, NA, 4.46153846149851, 18, 1.05882352939726, 9.21739130425452, 27.8399999994814, 15.3750000002237, NA, 6.00000000004109, 9.71428571436649, 12.4848484848485, 16.5034965037115, 20.6666666666667, 3.49999999997453, 4.65882352938624, 4.74999999996544, 3.99999999994522, 2.8, 14.2285714286188, 11.0000000000915, NA, 2.66666666666667, 3.76470588230138, 4.70588235287673, 13.2727272728677, 2.0000000000137, 18.4444444444444, 17.5555555555556, 14.2222222222222, 2.00000000001663, 4, 8.46153846146269, 19.2000000001788, 13.9024390245481, 13, 3.00000000004366, NA, …
8 normal-distribution  data-transformation  logistic  generalized-linear-model  ridge-regression  t-test  wilcoxon-signed-rank  paired-data  naive-bayes  distributions  logistic  goodness-of-fit  time-series  eviews  ecm  panel-data  reliability  psychometrics  validity  cronbachs-alpha  self-study  random-variable  expected-value  median  regression  self-study  multiple-regression  linear-model  forecasting  prediction-interval  normal-distribution  excel  bayesian  multivariate-analysis  modeling  predictive-models  canonical-correlation  rbm  time-series  machine-learning  neural-networks  fishers-exact  factorisation-theorem  svm  prediction  linear  reinforcement-learning  cdf  probability-inequalities  ecdf  time-series  kalman-filter  state-space-models  dynamic-regression  index-decomposition  sampling  stratification  cluster-sample  survey-sampling  distributions  maximum-likelihood  gamma-distribution 
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カンテッリの不等式証明
私は次の不平等を証明しようとしています： 編集：私がこの質問を投稿した直後に、私は証明するように求められている不平等がカンテリの不平等と呼ばれていることを発見しました。これを書いたとき、この特定の不平等に名前があることに気づきませんでした。私はGoogleを介して複数の証明を見つけたので、厳密に言えば、もうソリューションは必要ありません。ただし、元々あったように、であるという事実を呼び出す証拠が見つからないため、この質問を続けています。意図されました。t=E(t−X)≤E[(t−X)IX&lt;t]t=E(t−X)≤E[(t−X)IX&lt;t]t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{Xt)またはむしろ。以来、、我々は交換することができると後者の左側を。 E（X）=0XX−E（X）P(X&gt;t)≤V(X)t2P(X&gt;t)≤V(X)t2P(X>t)\leq \frac{V(X)}{t^2}E(X)=0E(X)=0E(X)=0XXXX−E(X)X−E(X)X-E(X) ここが先に進むのに苦労しているところです。という事実を使用する方法がわかりません。再度、以降、我々は、で置換することができる のための。これはと同等です。次に、不等式の右辺の分母のをに書き換えます。これは、中間の項が欠落するため、簡略化され。しかし、私はここからどこへ行くことができるかもわかりません。これをとしてさらに書き換えることができますが、少なくとも項が正しい場所にあります。E （X ）= 0 T - E （X ）T E （T - X ）T 2 [ E （T - X ）] 2 t 2 − [ E （X ）] 2t=E(t−X)≤E[(t−x)IX&lt;t]t=E(t−X)≤E[(t−x)IX&lt;t]t=E(t-X)\leq E[(t-x)\mathbb{I}_{X<t}]E(X)=0E(X)=0E(X)=0t−E(X)t−E(X)t-E(X)tttE(t−X)E(t−X)E(t-X)t2t2t^2[E(t−X)]2[E(t−X)]2[E(t-X)]^2t2−[E(X)]2t2−[E(X)]2t^2-[E(X)]^2V （X ）+ t 2t2+V(X)−E(X2)t2+V(X)−E(X2)t^2+V(X)-E(X^2)V(X)+t2V(X)+t2V(X)+t^2 明らかに、ここにに関連する何かが欠けていますが、率直に言って、この用語の処理方法がまったくわかりません。私はこの用語が私に言っていることを概念的に理解しています。直感的には、が未満に制限されている場合、の期待値は同じ量よりも小さくなります。つまり、前者は否定的である可能性が高く、後者は肯定的である必要があります。しかし、私はこの事実を証明にどのように使用できるかわかりません。T - X X TE(t−X)≤E[(t−X)IX&lt;t]E(t−X)≤E[(t−X)IX&lt;t]E(t-X) \leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]t−Xt−Xt-XXXXttt 簡単にするために内側を「配布」してみましたが...... E[(t−X)IX&lt;t]=E[tIX&lt;t−XIX&lt;t]=tP(X&lt;t)−?E[(t−X)IX&lt;t]=E[tIX&lt;t−XIX&lt;t]=tP(X&lt;t)−?E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]=E[t\mathbb{I}_{X<t} …
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関連する
イメージセンサーのピクセルでのフォトンの到着はポアソン分布確率変数であり、入力はポアソンrvとしてモデル化できます。X∼Poisson(λ)X∼Poisson(λ)X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda) 入力はポアソンであるため、平均と分散は次のように等しくなります。 E[X]Var[X]=1E[X]Var[X]=1\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[X]}{\mathrm{Var}[X]}=1 \end{equation} これで、フォトン入力がリニアイメージセンサー（カメラ）を通過してデジタル出力が生成されると、これを線形変換として扱い、出力がます。XXXYYYY=X/gY=X/gY=X/g このリニアセンサの場合には、私は`変換利得を抽出することができ、光子の、すなわち数として表され、一方のデジタル出力を生成するために必要な（光子/デジタル＃）の単位で、としてggg E[Y]Var[Y]=E[X/g]Var[X/g]=1gE[X]1g2Var[X]=gE[Y]Var[Y]=E[X/g]Var[X/g]=1gE[X]1g2Var[X]=g\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}=\frac{\mathbb{E}[X/g]}{\mathrm{Var}[X/g]}=\frac{\frac{1}{g}\mathbb{E}[X]}{\frac{1}{g^2}\mathrm{Var}[X]}=g \end{equation} ただし、変換ゲインが入力に線形に依存するセンサーを考えてみたとえば、でおよびです。これは、ゲインが信号増加関数であることを意味します。Y=X/(aX+b)Y=X/(aX+b)Y=X/(aX+b)a&gt;0a&gt;0a>0b&gt;0b&gt;0b>0g(x)=ax+bg(x)=ax+bg(x)=ax+b この非線形センサーの場合、出力の平均と分散の比からゲインを見つけることはできません。 E[Y]Var[Y]≠g(x)E[Y]Var[Y]≠g(x)\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}\neq g(x) \end{equation} 実際、測定された変換ゲインは、どの入力信号レベルでも実際の変換ゲインよりも大きいことがわかります。 E[Y]Var[Y]&gt;g(x)E[Y]Var[Y]&gt;g(x)\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}> g(x) \end{equation} これについての説明の一部は、ランダム入力増加する凹型変換について、つまりあると述べているジェンセンの不等式です。XXXY=f(X)Y=f(X)Y=f(X) E[Y]=E[f(X)]≤f(E[X])E[Y]=E[f(X)]≤f(E[X])\begin{equation} \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[f(X)]\leq f(\mathbb{E}[X]) \end{equation} 私の場合、は実際には増加する凹関数であり、出力で測定された平均が入力の変換平均よりも小さいことを意味します。出力で測定されたゲインが過大評価され、測定された平均が過小評価されていることがわかっているため、測定された分散が平均よりもさらに過小評価されていることを意味します。Y=X/(aX+b)Y=X/(aX+b)Y=X/(aX+b) これを証明したり、数学的にこれを書くにはどうすればよいですか？分散に対するジェンセンの不等式の一般化はありますか？この例でゲインが過大評価されている理由を正確に示すことはできますか？
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もし、どのように大きい？
もし、ここでと正の確率変数の順序で、どのように大きい？E|Xn|=O(an)E|Xn|=O(an)\mathbb{E}|X_n|=O(a_n)an→0an→0a_n\to 0XnXnX_nYn=Xnln(1Xn)Yn=Xnln⁡(1Xn)Y_n = X_n\ln\left(\frac{1}{X_n}\right) 私の試み：マルコフの不等式、および意味します。それはを評価するために残っています。確率変数のいくつかの正のシーケンスについてE|Xn|=O(an)E|Xn|=O(an)\mathbb{E}|X_n|=O(a_n)Xn=Op(an)Xn=Op(an)X_n=O_p(a_n)Yn=Op(an)ln(1Xn)Yn=Op(an)ln⁡(1Xn)Y_n = O_p(a_n)\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)ln(1Xn)ln⁡(1Xn)\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)Zn=Op(1)Zn=Op(1)Z_n=O_p(1) Xn=anZn⟺ln(Xn)=ln(an)+ln(Zn)⟺ln(1Xn)ln(1an)=ln(Zn)ln(an)+1Xn=anZn⟺ln⁡(Xn)=ln⁡(an)+ln⁡(Zn)⟺ln⁡(1Xn)ln⁡(1an)=ln⁡(Zn)ln⁡(an)+1\begin{equation} \begin{aligned} X_n = a_nZ_n& \iff \ln(X_n) = \ln(a_n) + \ln(Z_n) \\ & \iff \frac{\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)}{\ln\left(\frac{1}{a_n}\right)} = \frac{\ln(Z_n)}{\ln(a_n)} + 1 \end{aligned} \end{equation} なので、、右側が確率で制限されていることを示すと、完了です。an→0an→0a_n\to 0 定義により、、が存在する場合、 が存在しZn=Op(1)Zn=Op(1)Z_n = O_p(1)ε&gt;0ε&gt;0\varepsilon>0M&lt;∞M&lt;∞M<\inftysupn∈NPr(Zn&gt;M)&lt;ε.supn∈NPr(Zn&gt;M)&lt;ε.\sup_{n\in\mathbb{N}}\Pr\left(Z_n>M\right)<\varepsilon. したがって、すべてのε&gt;0ε&gt;0\varepsilon>0、L = \ ln（M）が存在しL=ln(M)L=ln⁡(M)L=\ln(M)、 supn∈NPr(lnZn&gt;L)&lt;ε,supn∈NPr(ln⁡Zn&gt;L)&lt;ε,\sup_{n\in\mathbb{N}}\Pr\left(\ln Z_n>L\right)<\varepsilon, したがって、lnZn=Op(1)ln⁡Zn=Op(1)\ln Z_n = O_p(1)および Yn=Op(anln(1an)).Yn=Op(anln⁡(1an)).Y_n = O_p\left(a_n\ln\left(\frac{1}{a_n}\right)\right). 私の推論に欠陥はありますか？この結果を確認する簡単な方法はありますか？ 私の2つ目の質問は、期待値の順序について\ mathbb …
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