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イメージセンサーのピクセルでのフォトンの到着はポアソン分布確率変数であり、入力はポアソンrvとしてモデル化できます。$X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$

入力はポアソンであるため、平均と分散は次のように等しくなります。

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[X]}{\mathrm{Var}[X]}=1 \end{equation}$$

これで、フォトン入力がリニアイメージセンサー（カメラ）を通過してデジタル出力が生成されると、これを線形変換として扱い、出力がます。$X$$Y$$Y=X/g$

このリニアセンサの場合には、私は`変換利得を抽出することができ、光子の、すなわち数として表され、一方のデジタル出力を生成するために必要な（光子/デジタル＃）の単位で、として$g$

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}=\frac{\mathbb{E}[X/g]}{\mathrm{Var}[X/g]}=\frac{\frac{1}{g}\mathbb{E}[X]}{\frac{1}{g^2}\mathrm{Var}[X]}=g \end{equation}$$

ただし、変換ゲインが入力に線形に依存するセンサーを考えてみたとえば、でおよびです。これは、ゲインが信号増加関数であることを意味します。$Y=X/(aX+b)$$a>0$$b>0$$g(x)=ax+b$

この非線形センサーの場合、出力の平均と分散の比からゲインを見つけることはできません。

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}\neq g(x) \end{equation}$$

実際、測定された変換ゲインは、どの入力信号レベルでも実際の変換ゲインよりも大きいことがわかります。

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}> g(x) \end{equation}$$

これについての説明の一部は、ランダム入力増加する凹型変換について、つまりあると述べているジェンセンの不等式です。$X$$Y=f(X)$

$$\begin{equation} \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[f(X)]\leq f(\mathbb{E}[X]) \end{equation}$$

私の場合、は実際には増加する凹関数であり、出力で測定された平均が入力の変換平均よりも小さいことを意味します。出力で測定されたゲインが過大評価され、測定された平均が過小評価されていることがわかっているため、測定された分散が平均よりもさらに過小評価されていることを意味します。$Y=X/(aX+b)$

これを証明したり、数学的にこれを書くにはどうすればよいですか？分散に対するジェンセンの不等式の一般化はありますか？この例でゲインが過大評価されている理由を正確に示すことはできますか？

2つの量の間に関係はありません $f(\text{Var}[X])$ そして $\text{Var}[f(X)]$ 凹面用 $f$。これを示す例を次に示します。

• 例1：確率変数を仮定する $X$ pmfがあります。 $p_X(0) = \frac{1}{2}$ そして $p_X(4) = \frac{1}{2}$、および $f(x) = \sqrt{x}$。我々が得る$\text{Var}[f(X)] = 1$ そして $f(\text{Var}[X]) = f(4) = 2$。そう、$\text{Var}[f(X)] < f(\text{Var}[X])$。
• 例2：確率変数を仮定する $X$ 以前と同じです。つまり、pmfがあります。 $p_X(0) = \frac{1}{2}$ そして $p_X(4) = \frac{1}{2}$、 だが $f$ に変わった $f(x) = \sqrt{x} - 100$。ご了承ください$\text{Var}[f(X)] = 1$ まだ、しかし今 $f(\text{Var}[X]) = f(4) = 2-100=-98$。そう、$\text{Var}[f(X)] > f(\text{Var}[X])$。