もし、どのように大きい？

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もし、ここでと正の確率変数の順序で、どのように大きい？ $\mathbb{E}|X_n|=O(a_n)$ $a_n\to 0$ $X_n$ $Y_n = X_n\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)$

私の試み：マルコフの不等式、および意味します。それはを評価するために残っています。確率変数のいくつかの正のシーケンスについて $\mathbb{E}|X_n|=O(a_n)$ $X_n=O_p(a_n)$ $Y_n = O_p(a_n)\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $Z_n=O_p(1)$

\begin{aligned} X_{n} = a_{n} Z_{n} & ⟺ \ln (X_{n}) = \ln (a_{n}) + \ln (Z_{n}) \\ ⟺ \frac{\ln (\frac{1}{X_{n}})}{\ln (\frac{1}{a_{n}})} = \frac{\ln (Z_{n})}{\ln (a_{n})} + 1 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} X_n = a_nZ_n& \iff \ln(X_n) = \ln(a_n) + \ln(Z_n) \\ & \iff \frac{\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)}{\ln\left(\frac{1}{a_n}\right)} = \frac{\ln(Z_n)}{\ln(a_n)} + 1 \end{aligned} \end{equation}$ なので、、右側が確率で制限されていることを示すと、完了です。

a_{n} \to 0

$a_n\to 0$

定義により、、が存在する場合、が存在し $Z_n = O_p(1)$ $\varepsilon>0$ $M<\infty$

sup_{n \in N} Pr (Z_{n} > M) < ε .

$\sup_{n\in\mathbb{N}}\Pr\left(Z_n>M\right)<\varepsilon.$

したがって、すべての $\varepsilon>0$ 、が存在し $L=\ln(M)$ 、

sup_{n \in N} Pr (\ln Z_{n} > L) < ε,

$\sup_{n\in\mathbb{N}}\Pr\left(\ln Z_n>L\right)<\varepsilon,$ したがって、

\ln Z_{n} = O_{p} (1)

$\ln Z_n = O_p(1)$ および

Y_{n} = O_{p} (a_{n} \ln (\frac{1}{a_{n}})) .

$Y_n = O_p\left(a_n\ln\left(\frac{1}{a_n}\right)\right).$

私の推論に欠陥はありますか？この結果を確認する簡単な方法はありますか？

私の2つ目の質問は、期待値の順序についてと言えるかどうかです

E | X_{n} \ln (\frac{1}{X_{n}}) | = O (?) ?

$\mathbb{E}\left|X_n\ln\left(\frac{1}{X_n}\right)\right| = O(?)?$

以来、それが最初のモーメントを有するように見えます期待では十分ではありません。これは正しいです？

\ln (x) = \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{j + 1}}{j} (x - 1)^{j},

$\ln(x) = \sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^{j+1}}{j}(x-1)^j,$

— ライモンド
ソース

私はwhuberの計算を行っていませんが、を使用して、各ビットを個別に見ないでください

x l o g (x) \to 0

$x log (x) \rightarrow 0$

Y_{n}

$Y_n$

— seanv507

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以下のような一連の確率変数を熟考することで、多くのことが明らかになると思います。

X_{n} = {\begin{aligned} \frac{1}{n} & with probability 1 - \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- g (n)} \\ f (n) e^{g (n)} & with probability \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- g (n)} . \end{aligned}

$X_n = \left\{\eqalign{\frac{1}{n} & \text{ with probability } 1 - \frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}\\ f(n)e^{g(n)} & \text{ with probability } \frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}.}\right.$

後で、漸近的な期待でそれらが果たす役割を分析した後、適切な関数とを特定します。ここでは、がゼロではなく、が大きくなるにつれて両方が発散すると仮定し。すべてのに対してを使用します。 $f$ $g$ $f(n)$ $n$ $g(n) \ge n$ $n\gt 0$

期待の定義により、

\begin{aligned} E (X_{n}) & = \frac{1}{n} (1 - \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- g (n)}) + f (n) e^{g} (n) (\frac{1}{f (n)^{2}} e^{- g (n)}) \\ = \frac{1}{f (n)} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n f (n)^{2}} e^{- g (n)} . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(X_n) &= \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}\right) + f(n)e^g(n) \left(\frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}\right) \\&= \frac{1}{f(n)} + \frac{1}{n} - \frac{1}{nf(n)^2}e^{-g(n)}.}$

明らかに

E (X_{n}) = O (n^{- 1} + f (n)^{- 1}),

$\mathbb{E}(X_n) = O\left(n^{-1} + f(n)^{-1}\right),$

を取ることを許可し、必要に応じて収束し。（そうするので、はとして、に注意してください。）それにもかかわらず、用語を含む $a_n = n^{-1} + f(n)^{-1}$ $0$ $x \log(1/x)\to 0$ $x\to 0$ $a_n\log(1/a_n)\to 0$ $\mathbb{E}(Y_n)$

\begin{matrix} (1) & f (n) e^{g} (n) \log (\frac{1}{f (n) e^{g (n)}}) \times \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- g (n)} = - \frac{\log (f (n))}{f (n)} - \frac{g (n)}{f (n)} \end{matrix}

$f(n)e^g(n)\log\left(\frac{1}{f(n)e^{g(n)}}\right) \times \frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}=-\frac{\log(f(n))}{f(n)} - \frac{g(n)}{f(n)}\tag{1}$

他の用語は、

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{n} \log (\frac{1}{1 / n}) \times (1 - \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- g (n)}) = \frac{\log n}{n} (1 - \frac{1}{f (n)^{2}} e^{- g (n)})), \end{matrix}

$\frac{1}{n}\log\left(\frac{1}{1/n}\right) \times \left(1 - \frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)}\right) = \frac{\log{n}}{n}\left(1-\frac{1}{f(n)^2}e^{-g(n)})\right),\tag{2}$

制限されたままです（ゼロに収束します）。

レッツ仮定する発散よりもゆっくり。 $f$ $g$ つまり、が発散するを選択します。との和は漸近的に $f$ $g(n)/f(n)$ $(1)$ $(2)$

E (Y_{n}) = O (\frac{g (n)}{f (n)}) \to \infty .

$\mathbb{E}(Y_n) = O\left(\frac{g(n)}{f(n)}\right) \to \infty.$

それらに置かれたすべての条件を満たす（発散もあり、正、発散も）そのようなとが存在します。たとえば、（）およびは、任意のます。したがって、、すべてのと、制限されたすべての関数に対してです。 $f$ $g$ $g(n)/f(n)$ $g(n)=nh(n)$ $h(n) \ge 1$ $f(n) = n^\epsilon$ $0 \lt \epsilon \lt 1$ $\mathbb{E}(Y_n)=O(h(n)n^{1-\epsilon})$ $\epsilon\gt 0$ $h$ $1$

これは、が発散できるレートに制限がないことを示しています。 $\mathbb{E}(Y_n)$

— whuber
ソース

1

以来正の確率変数である、我々は、絶対値を必要としません。我々は持っています $X_n$

{E X_{n}} = O (a_{n}) ⟹ lim_{n \to \infty} \frac{E X_{n}}{a_{n}} < K \in R_{+ +}

$\{\mathbb{E}X_n\}=O(a_n) \implies \lim_{n\to \infty}\frac{\mathbb{E}X_n}{a_n} < K \in \mathbb R_{++}$

それからまた

a_{n} \to 0 ⟹ E X_{n} \to 0 ⟹ X_{n} \to 0, n \to \infty

$a_n \to 0 \implies \mathbb{E}X_n \to 0 \implies X_n \to 0,\;\;\; n\to \infty$

彼らは正のr.vですので。したがって、のシーケンスは定数ゼロに収束します。 $X$

しかしその後

Y_{n} = - X_{n} \ln X_{n} ⟹ lim_{n \to \infty} Y_{n} = 0

$Y_n = -X_n \ln X_n \implies \lim_{n \to \infty} Y_n =0$

...または多分プリムス。

何か不足していますか？

— アレコスパパドプロス
ソース

1

元の投稿は、ここで取り上げる質問よりも、関連しているがよりデリケートな2つの質問をしているようです。最初の懸念割合れるゼロに収束します。第二は、その期待に何が起こるかに関する。

Y_{n}

$Y_n$

— whuber