カンテッリの不等式証明

私は次の不平等を証明しようとしています：

編集：私がこの質問を投稿した直後に、私は証明するように求められている不平等がカンテリの不平等と呼ばれていることを発見しました。これを書いたとき、この特定の不平等に名前があることに気づきませんでした。私はGoogleを介して複数の証明を見つけたので、厳密に言えば、もうソリューションは必要ありません。ただし、元々あったように、であるという事実を呼び出す証拠が見つからないため、この質問を続けています。意図されました。 $t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$

以下のための、 $t \geq 0$

$\mathbb{P}(X-E(X)\geq t)\leq \frac{V(X)}{V(X)+t^2}$

私たちの教授は、このワークアウトのために私たちは、以下の"ヒント"を与えた：仮定して問題外「の最初の仕事、その後事実を使用している」 $E(X)=0$ $t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$

編集：明確にするために、私の表記では、はインジケーター関数を指します。 $\mathbb{I}$

最初の部分はかなり単純です。これは基本的に、マルコフまたはチェビシェフの不等式の証明のバリエーションです。私は次のようにそれをしました：

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^2f(x)dx$

（適切に言えば、積分を評価するときは、を、をに置き換える必要があることは知っています。ひどく透明なので、もっと非公式な表記法を使い続けています。） $x$ $u$ $f(x)$ $f_x(u)$

と仮定すると、上記は次のように単純化されます $E(X)=0$

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx$

簡潔にするために、いくつかの手順は省略しますが、そのように示すのは簡単です

$V(X)\geq t^2 P(X>t)$ またはむしろ。以来、、我々は交換することができると後者の左側を。 $P(X>t)\leq \frac{V(X)}{t^2}$ $E(X)=0$ $X$ $X-E(X)$

ここが先に進むのに苦労しているところです。という事実を使用する方法がわかりません。再度、以降、我々は、で置換することができるのための。これはと同等です。次に、不等式の右辺の分母のをに書き換えます。これは、中間の項が欠落するため、簡略化され。しかし、私はここからどこへ行くことができるかもわかりません。これをとしてさらに書き換えることができますが、少なくとも項が正しい場所にあります。 $t=E(t-X)\leq E[(t-x)\mathbb{I}_{X<t}]$ $E(X)=0$ $t-E(X)$ $t$ $E(t-X)$ $t^2$ $[E(t-X)]^2$ $t^2-[E(X)]^2$ $t^2+V(X)-E(X^2)$ $V(X)+t^2$

明らかに、ここにに関連する何かが欠けていますが、率直に言って、この用語の処理方法がまったくわかりません。私はこの用語が私に言っていることを概念的に理解しています。直感的には、が未満に制限されている場合、の期待値は同じ量よりも小さくなります。つまり、前者は否定的である可能性が高く、後者は肯定的である必要があります。しかし、私はこの事実を証明にどのように使用できるかわかりません。 $E(t-X) \leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$ $t-X$ $X$ $t$

簡単にするために内側を「配布」してみましたが......

$E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]=E[t\mathbb{I}_{X<t} - X\mathbb{I}_{X<t}]=tP(X<t)-?$

しかし、を評価する方法がわかりません。 $E(X\mathbb{I}_{X<t}]$

誰かがアイデアやヒントを持っていますか？

— ライアン・シモンズ
ソース

読んでいる本に応じて、片側チェビシェフ不等式（または片側チェビシェフ-カンテリ不等式またはカンテリ不等式）と呼ばれることがあるもののより一般的なバージョンの証明については、この回答を参照してください。

— Dilip Sarwate 2014

他の質問を削除されていないことを願っています。それに対する回答を投稿した方がはるかに良いので、他の人がコメントだけでなくコメントの提案からも利益を得ることができ、あなたはさらなるコメントから利益を得るかもしれません。たとえば、なので、は必要なサイズの4倍になります。

p (1 - p) \leq \frac{1}{4}

$p(1-p) \leq \frac{1}{4}$

1

$1$

— Glen_b-モニカを復活させる14

interval（t、inf）での整数（x（fx））

定義すると、および。 $Y=X-\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[Y]=0$ $\mathbb{Var}[Y]=\mathbb{Var}[X]=:\sigma^2=\mathbb{E}[Y^2]$

以下のために、マルコフの不等式を使用して、我々は持っている最小化：はを与え、結果は次のようになります： $t,u>0$

Pr (Y \geq t) = Pr (Y + u \geq t + u) \leq Pr ((Y + u)^{2} \geq (t + u)^{2})

$\Pr(Y\geq t) = \Pr(Y+u\geq t+u) \leq \Pr((Y+u)^2\geq (t+u)^2)$

\leq \frac{E [(Y + u)^{2}]}{(t + u)^{2}} = \frac{σ^{2} + u^{2}}{(t + u)^{2}} =: φ (u) .

$\leq \frac{\mathbb{E}[(Y+u)^2]}{(t+u)^2} = \frac{\sigma^2+u^2}{(t+u)^2}=:\varphi(u).$

φ^{'} (u) = 0

$\varphi'(u)=0$

u = σ^{2} / t

$u=\sigma^2/t$

Pr (X - E [X] \geq t) \leq \frac{σ^{2}}{σ^{2} + t^{2}} .

$\Pr(X-\mathbb{E}[X]\geq t) \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}.$

— 禅
ソース

つまり、実際、ほぼ1年前に発見した正しいアプローチですが、戻ってこの質問を編集して回答を含めるのを忘れていました。何らかの理由で、CrossValidatedが正しい答えとしてこれを受け入れようとすると、エラーが発生します。

— Ryan Simmons