マルコフ、チェビシェフの不等式が厳しいランダム変数

マルコフまたはチェビシェフの不等式が厳しい確率変数の作成に興味があります。

簡単な例は、次の確率変数です。

P （| X | ≥ 1 ）= $P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$。その平均はゼロであり、分散は1であり、です。このランダム変数の場合、チェビシェフはタイトです（等しい値で保持されます）。$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

マルコフとチェビシェフがタイトである、より興味深い（非一様）確率変数はありますか？いくつかの例は素晴らしいでしょう。

チェビシェフ束縛の限定ケースが保持する分布のクラスはよく知られています（そして、単純に推測することは難しくありません）。位置とスケールの正規化

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

これは、ウィキペディアのページにあるチェビシェフ不等式の解決策です（拡大されています）。

[ 不等式を厳密に満たし、必要に応じて制限ケースに近づく一連の分布を（確率を中心に配置し、同じ確率を端点から均等に削除することにより）記述できます。]$\epsilon>0$

他の解は、この位置とスケールのシフトによって取得できますます。$X=\mu+\sigma Z$

マルコフ不等式の場合、確率は持っているあなたはとても 0でかつで。（ここではスケールパラメータを導入できますが、場所パラメータは導入できません）$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$$k$

モーメントの不等式-確かに他の多くの同様の不等式-は、限定的なケースとして離散分布を持つ傾向があります。

私は、チェビシェフの範囲に正確に従っている実軸全体にわたって連続分布を取得することは不可能かもしれないと信じています。

連続分布の平均と標準偏差が0と1であると仮定するか、再スケーリングによってそうします。次に、です。簡単にするために、検討してください。負の値は対称的に定義されます。この場合、分布のCDFはです。そして、cdfの導関数であるpdfはです。明らかに、不連続性のため、これはに対してのみ定義する必要があります。実際、これはどこにでも当てはまるわけではなく、pdfの積分は有限ではありません。代わりに、不連続性を回避する必要がある場合（たとえば、pdf catが 0になるだけ）pdfは区分的でなければならず、に等しい必要があります。$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$。

ただし、この分布は仮説に失敗します。分散は有限ではありません。有限の分散をもつ実軸上の連続分布を得るには、と期待値が有限でなければなりません。逆多項式を調べると、ような尾は有限のになりますが、これは漸近的な対数動作を伴う積分を含むため、未定義のます。$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$

したがって、チェビシェフの限界は正確に満たすことはできません。あなたは必要とすることができます任意に小さくするためにしかし、。pdfの尾部はなり、分散が定義されています。$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

分布が実線の一部のみに存在するが、それでも継続する場合は、を定義します。は および またはその線形スケーリング-ただし、これは基本的に、これはそれほど範囲ではありません。そして、この制限がまだ元の動機と一致しているかどうかは疑問です。$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$$\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ 0.887<| x| < $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$