または

9

確率テストを行ったので、この質問には答えられませんでした。それはちょうどこのようなものを尋ねました：

「考慮すること確率変数であり、、より高いか又は等しい何を証明するために正しい不等式を使用、または。 $X$ $X$ $\geqslant$ $0$ $E(X^2)^3$ $E(X^3)^2$

私が考えた唯一のことはジェンセンの不平等でしたが、私はそれをここでどのように適用するか本当に知りません。

probability self-study probability-inequalities

— トリコロール
ソース

1

代わりにホルダーの不等式を試してください。

— jbowman 2017年

1

自習タグを追加してください。

— Michael R. Chernick 2017年

2

stats.stackexchange.com/questions/244202/…のスレッドは、この質問を一般化します。それを適用するには、両側の6番目の根を取るだけです。

— whuber

2

ヘルプセンター

— Glen_b -Reinstate Monica

15

これは確かにジェンセンの不平等によって証明できます。

$\alpha > 1$ $x^{\alpha}$ $\left[0, -\infty\right)$ $X \ge 0$

E {[Y]}^{α} \leq E [Y^{α}]

$\mathbb{E}\left[Y\right]^{\alpha} \le \mathbb{E}\left[Y^{\alpha}\right]$

α < 1

$\alpha < 1$

$\alpha$

— tmrlvi
ソース

5

リアプノフの不等式（参照：カゼッラとバーガー、統計的推論4.7.6）：

$1 < r < s < \infty$

E [| X |^{r}]^{\frac{1}{r}} \leq E [| X |^{s}]^{\frac{1}{s}}

$\mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

証明：

$\phi(x)$ $\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

$\phi(Y) = Y^t$ $(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$ $Y = |X|^r$

$t = \frac{s}{r}$ $(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

— 権利
ソース

2

$^2$ $\frac{1}{3}$ $^2$ $^3$ $\frac{1}{27}$ $^3$ $\frac{1}{4}$ $^3$ $^2$ $\frac{1}{16}$ $^3$ $^2$ $^2$ $^3$

— マイケル・R・チェニック
ソース

非常にあいまいな答え。OPは正しいステートメントを証明するように求められます。反例はまったくありません。

— Zhanxiong 2018年