場合

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連続確率変数の場合は $X$ 、場合 $E(|X|)$ 有限で、ある $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ ？

これはインターネットで見つけた問題ですが、それが成り立つかどうかはわかりません。

$n P(|X|>n)<E(|X|)$ がマルコフの不等式で成り立つことは知っていますが、 $n$ が無限大になると0になることを示すことはできません。

probability expected-value probability-inequalities

— 456 123
ソース

8

（1）連続性は必要ありません。（2）期待値を生存関数

積分として表現し

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ ます。（3）反対のことを考慮してください。ゼロ以外の制限は期待について何を意味しますか？

— whuber

@whuber素敵な運動！私は正解だと思いますが、これはのようself-studyに見えるので、ここに書くべきではないと思います。プライベートチャットルームを作成して私の解決策を示し、それが正しいかどうかを教えてもらえますか？

— DeltaIV 2017年

1

@Deltaこれは、あなたの答えを投稿するのが私には問題ないと思われる場合です。OPには特定のサブ質問があり、宿題の答えを探しているだけではないようです。

— whuber

@whuberこれは、自然数に対する均一な分布が存在しないことを思い出させます-これは、ここでは連続性は必要ありませんが、可算加法性はあることを意味しますか？

— ビルクラーク

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$\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

— grand_chat
ソース

私はあなたが最後の文章で「RHS」を意味していると思います、そうでなければ良い仕事です！

— jbowman 2017年

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

@ P.Windridge-十分に注意深く読んでおらず、「だからLHS」を前の文ではなく式1に関連付けました。私の悪い。

— jbowman 2017年

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

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$Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

したがって

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

$\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

その後

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

サンドイッチ定理によって。

— DeltaIV
ソース

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$

2

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$

b_{n} \to l

$b_n\to l$

1

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$

1

E [Y]

$E[Y]$

1

@ P.Windridgeああ、わかりました！MCTが前提を必要としないことに気づきませんでした。私はDCTを調べたので、証明のためにそれは必要ないと思いました:)私は大学でルベーグ統合について教えられなかった代償を払っています...このため、私は慣れています確率計算は、メジャーではなくpdfで行います。

— DeltaIV

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$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

— アルデフ
ソース