分布
日常的な練習として、私は√の分布を見つけようとしていますX2+Y2−−−−−−−√X2+Y2\sqrt{X^2+Y^2}XXX及びYYY独立しているU(0,1)U(0,1) U(0,1)ランダム変数。 (X,Y)(X,Y)(X,Y)の結合密度は fX,Y(x,y)=10<x,y<1fX,Y(x,y)=10<x,y<1f_{X,Y}(x,y)=\mathbf 1_{0\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)、のようにcosθcosθ\cos\thetaに減少しているθ∈[0,π2]θ∈[0,π2]\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]; そしてzsinθ<1⟹θ<sin−1(1z)zsinθ<1⟹θ<sin−1(1z)z\sin\theta<1\implies\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)、のようにsinθsinθ\sin\theta上に増加しているθ∈[0,π2]θ∈[0,π2]\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]。 したがって、1<z<2–√1<z<21< z<\sqrt 2、cos−1(1z)<θ<sin−1(1z)cos−1(1z)<θ<sin−1(1z)\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)<\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)。 変換のヤコビアンの絶対値です|J|=z|J|=z|J|=z こうしての関節密度(Z,Θ)(Z,Θ)(Z,\Theta)によって与えられます。 fZ,Θ(z,θ)=z1{z∈(0,1),θ∈(0,π/2)}⋃{z∈(1,2√),θ∈(cos−1(1/z),sin−1(1/z))}fZ,Θ(z,θ)=z1{z∈(0,1),θ∈(0,π/2)}⋃{z∈(1,2),θ∈(cos−1(1/z),sin−1(1/z))}f_{Z,\Theta}(z,\theta)=z\mathbf 1_{\{z\in(0,1),\,\theta\in\left(0,\pi/2\right)\}\bigcup\{z\in(1,\sqrt2),\,\theta\in\left(\cos^{-1}\left(1/z\right),\sin^{-1}\left(1/z\right)\right)\}} θθ\theta積分すると、次のようにZZZのpdfが得られます。 fZ(z)=πz210<z<1+(πz2−2zcos−1(1z))11<z<2√fZ(z)=πz210<z<1+(πz2−2zcos−1(1z))11<z<2f_Z(z)=\frac{\pi z}{2}\mathbf 1_{0\sqrt 2 \end{cases} 正しい表現のように見えます。1 < z < √の場合のFZFZF_Z微分1<z<2–√1<z<21< z<\sqrt 2、すでに取得したpdfに簡単に単純化できない式を表示します。 最後に、私はCDFの正しい写真があると思います。 用0<z<10<z<10<z<1： そして1<z<2–√1<z<21<z<\sqrt 2： 網掛け部分は、領域の面積を示します{(x,y):0<x,y<1,x2+y2≤z2}{(x,y):0<x,y<1,x2+y2≤z2}\left\{(x,y):0<x,y< 1\,,\,x^2+y^2\le z^2\right\} 写真はすぐに得られます FZ(z)=Pr(−z2−X2−−−−−−−√≤Y≤z2−X2−−−−−−−√)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪πz24z2−1−−−−−√+∫1z2−1√z2−x2−−−−−−√dx, if 0<z<1, if 1<z<2–√FZ(z)=Pr(−z2−X2≤Y≤z2−X2)={πz24, if 0<z<1z2−1+∫z2−11z2−x2dx, if 1<z<2\begin{align} F_Z(z)&=\Pr\left(-\sqrt{z^2-X^2}\le Y\le\sqrt{z^2-X^2}\right) \\&=\begin{cases}\frac{\pi z^2}{4} &,\text{ if } …