ガンマ確率変数の違い

与えられた二つの独立確率変数と、差の分布、すなわち何？ $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

結果がよく知られていない場合、どのように結果を導き出しますか？

distributions gamma-distribution

— FBC
ソース

関連性があると思う：stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— V.

残念ながら関係ありません。その投稿は、重みが厳密に正であるガンマ確率変数の重み付き合計を考慮します。私の場合、重みはそれぞれ+1と-1になります。

— FBC

Moschopoulosの論文によると、この方法は線形結合に拡張できるとのことですが、再スケーリングは0より大きい重みに制限されているようです。正解です。

— Dimitriy V. Masterov 2013年

2つのスケールファクターが同じでない限り、単純なものや閉じた形で何かを導出することはほとんど望めません。

— whuber

ほんの少しの注意：同じパラメータを持つ指数分布のrvの特別な場合の結果はラプラスです（en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution）。

— Ric

問題にどのように取り組むことができるかを概説し、形状パラメーターが整数であるが、詳細を記入しない場合の最終的な結果がどうなるかを述べます。

最初は、そのノートの値をとるなど支持有する。 $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
第二は、標準的な結果から、二つの独立した連続的な確率変数の和の密度であり、それらの密度のコンボリューションであることと確率変数の密度は、そのである、を推論その
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
第三に、のための非負確率変数と、なお、上記の式を簡素化する $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
最後に、パラメータ化の使用密度を有するランダム変数を意味する $\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— ディリップ・サルワテ
ソース

+1：以前にこの問題を見たことがありますが、この答えは魅力的です。

— Neil G

閉じた形のソリューションがないように見えても、私はこの答えを受け入れます。それはできる限り近いです、ありがとう！

— FBC

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

私の知る限りでは、2つの独立したガンマrvの差の分布は、1993年にMathaiによって最初に研究されました。彼は、閉形式の解を導き出しました。ここでは彼の作品を複製しません。代わりに、元のソースを紹介します。閉じた形の解は、241ページの正規変数での二次形式の非中心一般化ラプラシアン性に関する論文の定理2.1として見つけることができます。

— ネイサン・クロック
ソース