に対数正規確率密度関数を乗算して分析的に積分することは可能ですか？

まず、分析的に統合することによって、つまり、数値解析（台形、ガウスレジェンドル、シンプソンの規則など）とは対照的に、これを解決するための統合規則はありますか？

私には関数があり、 は、対数正規分布の確率密度関数です。パラメータおよび。以下では、表記を省略して、累積分布関数にを使用します。$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$

$$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$$ $\mu$$\sigma$$g(x)$$G(x)$

積分を計算する必要があり

$$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$$

現在、Gauss-Legendre法を使用した数値積分でこれを行っています。これを何度も実行する必要があるため、パフォーマンスは重要です。数値解析/その他の部分の最適化を検討する前に、これを解決するための統合ルールがあるかどうかを知りたいと思います。

パーツごとの統合ルールを適用してみたところ、再び行き詰まりました。

1. $\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$。

2. $u=x \implies \rd u = \rd x$

3. $\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$

4. $u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

評価できないので、行き詰まっています。$\int G(x) \rd x$

これは私が構築しているソフトウェアパッケージ用です。

短い答え：いいえ、少なくとも基本的な機能に関しては不可能です。ただし、そのような量を計算するための非常に優れた（そして適度に高速な！）数値アルゴリズムが存在し、この場合、これらの数値積分手法よりも推奨されます。

通常の累積分布関数に関する関心の量

関心のある量は、実際には対数正規確率変数の条件付き平均と密接に関連しています。つまり、がパラメーターおよびを使用して対数正規分布として分布している場合、表記法を使用して、 $X$$\mu$$\sigma$

$$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$$

この積分の式を取得するには、代入し。これは最初はやる気がないように見えるかもしれません。ただし、この置換、を使用し、変数を単に変更するだけで、 ここでおよび。$z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$$x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

$$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$$ $\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

したがって、 ここでは標準です正規累積分布関数。

$$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$$ $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

数値近似

の既知の閉じた形式の式は存在しないとよく言われます。ただし、1800年代初頭のLiouvilleの定理は、より強力なものを主張しています。この関数には閉じた形の式はありません。（この特定の場合の証明については、Brian Conradの記事を参照してください。）$\Phi(x)$

したがって、数値アルゴリズムを使用して目的の量を概算する必要があります。これは、WJ Codyのアルゴリズムを使用して、IEEE倍精度浮動小数点内で実行できます。それは、この問題のための標準的なアルゴリズム、およびかなり低いための合理的な表現を利用し、それはあまりにも、かなり効率的です。

近似について説明するリファレンスを次に示します。

WJ Cody、Rational Chebyshev近似、エラー関数、 数学。コンプ 、1969年、631--637ページ。

また、サンプルコードの取得が容易になる場合に備えて、MATLABと両方で使用される実装でもあります。$R$

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