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Big-O、Omegaなどの漸近表記に関する質問

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ネストされたビッグO表記
グラフがあるとしましょうでの縁。実行時間がでBFSを実行したい。| E | = O （V 2）G O （V + E ）| G ||G||G|| E| =O（ V2）|E|=O(V2)|E|=O(V^2)GGGO （V+ E）O(V+E)O(V+E) このグラフの実行時間はで、簡略化すると書くのは自然なことです。O （V 2）O （O （V2）+ V）O(O(V2)+V)O(O(V^2)+V)O （V2）O(V2)O(V^2) このような「ネストされたOを削除する」ショートカットを使用することの落とし穴はありますか（この場合だけでなく、より一般的に）？
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解決する
アルゴリズムの概要、第3版（p.95）には、再発を解決する方法の例があります T(n)=3T(n4)+n⋅log(n)T(n)=3T(n4)+n⋅log⁡(n)\displaystyle T(n)= 3T\left(\frac{n}{4}\right) + n\cdot \log(n) マスター定理を適用することによって。 私はそれがどのように行われるかについて非常に混乱しています。そう、a=3,b=4,f(n)=n⋅log(n)a=3,b=4,f(n)=n⋅log⁡(n)a=3, b=4, f(n) = n\cdot \log(n) 最初のステップは比較することです nlogba=nlog43=O(n0.793)nlogb⁡a=nlog4⁡3=O(n0.793)n^{\log_b a} = n^{\log_4 3}= O(n^{0.793}) と f(n)f(n)f(n)。 彼らがこれをどのように比較したのか私には手がかりがありません。本は説明します： f(n)=Ω(nlog43+ϵ)f(n)=Ω(nlog4⁡3+ϵ)f(n) = \Omega (n^{\log_4 3+\epsilon })、 どこ ϵ≈0.2ϵ≈0.2\epsilon \approx 0.2、規則性の条件が満たされることを示すことができる場合、ケース3が適用されます f(n).f(n).f(n). に続く： nが十分に大きい場合、次のようになります。 af(nb)=3(n4)log(n5)≤(34)nlogn=cf(n) for c=34.af(nb)=3(n4)log⁡(n5)≤(34)nlog⁡n=cf(n) for c=34.af\left(\frac{n}{b}\right) = 3\left(\frac{n}{4}\right)\log\left(\frac{n}{5}\right) \le\left(\frac{3}{4}\right)n \log n = cf(n)~ for~ …
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ランタイム分析
つまり、は反復対数を意味するので、 =はまでです。log∗log∗\log^*log∗(3)log∗⁡(3)\log^*(3)(loglogloglog...)(log⁡log⁡log⁡log...)(\log\log\log\log...)n≤1n≤1n \leq 1 私は以下を解決しようとしています： です log∗(22n)log∗⁡(22n)\log^*(2^{2^n}) 少し、少し、または ofoooωω\omegaΘΘ\Theta log∗(n)2log∗⁡(n)2{\log^*(n)}^2 内部機能の点で、よりもはるかに大きいが、二乗する私を投げています。log∗(22n)log∗⁡(22n)\log^*(2^{2^n})log∗(n)log∗⁡(n)\log^*(n)log∗(n)log∗⁡(n)\log^*(n) がであることは知っていますが、反復対数に対してプロパティが成り立つとは思いません。log(n)2log⁡(n)2\log(n)^2O(n)O(n)O(n) マスターメソッドを適用しようとしましたが、関数のプロパティに問題があります。nを最大（つまり、）に設定しようとしましたが、これは問題を本当に単純化しませんでした。log∗(n)log∗⁡(n)\log^*(n)n=5n=5n = 5 私がこれにどのように取り組むべきかについて誰かが何かアドバイスがありますか？
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漸近的に記述された関数を操作して結論を​​出すことはできますか？
この質問は宿題に基づいています（実際の問​​題は使用していません）。 次のような関数があるとします。 f(n)∈O(2n2).f(n)∈O(2n2).f(n) \in O(2n^2) \, . 次に、これを次のように扱いますか？ f(n)=2n2f(n)=2n2f(n) = 2n^2 それに数学を実行し、その漸近的な意味を保ちますか？ 上記の場合、が意味すると推測できますか（この例では係数が重要であると仮定しています）？f(n)∈O(2n2)f(n)∈O(2n2)f(n) \in O(2n^2)f(n)/2∈O(n2)f(n)/2∈O(n2)f(n) / 2 \in O(n^2)
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オメガとオメガインフィニティのバリエーション
一部の著者は定義します ΩΩ\Omega 少し違う方法で：使ってみましょう Ω∞Ω∞ \overset{\infty}{\Omega} （「オメガインフィニティ」をお読みください）。と言うf(n)=Ω∞(g(n))f(n)=Ω∞(g(n))f(n) = \overset{\infty}{\Omega}(g(n)) 正の定数が存在する場合 ccc そのような f(n)≥c⋅g(n)≥0f(n)≥c⋅g(n)≥0f(n) \geq c\cdot g(n) \geq 0 無限に多くの整数 nnn、通常の ΩΩ\Omega これは、一定以上のすべての整数に当てはまる必要があります n0n0n_0。 2つの関数についてそれを示す f(n)f(n)f(n) そして g(n)g(n)g(n) 漸近的に非負であるか f(n)=O(g(n))f(n)=O(g(n))f(n) = O(g(n)) または f(n)=Ω∞(g(n))f(n)=Ω∞(g(n))f(n)= \overset{\infty}{\Omega}(g(n)) または両方ですが、これは、 ΩΩ\Omega 代わりに Ω∞Ω∞\overset{\infty}{\Omega}。 私はアルゴリズムを学ぼうとしています。しかし、これを証明することはできません。専門家は私を助けてくれますか？
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O（n）の関数もo（n）の関数もすべてΘ（n）にありますか？
私の講義の1つは次のように述べています。 （f（N ）= O （N ）∧ F（n ）≠ o （n ））⟹f（n ）= Θ （n ）（f（ん）=O（ん）∧f（ん）≠o（ん））⟹f（ん）=Θ（ん）( f(n)=O(n) \land f(n)\neq o(n) )\implies f(n)=\Theta(n) たぶん私は、定義の中で何かが欠けているんだけど、例えばバブルソートは、とではないそれもありませんそれが最良の場合の実行時間ですので、。O （ん2）O（ん2）O(n^2)o （ん2）o（ん2）o(n^2)θ （ん2）θ（ん2）\theta(n^2)Ω （n ）Ω（ん）\Omega(n) ここで何が欠けていますか？
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が、ような2つの関数、
質問のタイトルは、私が探しているものを表しています。これは、非決定論的な時間階層定理の前提条件をよりよく理解するのに役立ちます たとえば、Arora-Barakの本では、およびを使用して定理を説明していますが、もわかります！そのため、が適切なサブセットになるように指定することで、「余分な」時間が保証されることをよりよく理解しようとしています、、ない ... g(n)=ng(n)=ng(n) = nG(n)=n1.5G(n)=n1.5G(n) = n^{1.5}n∈o(n1.5)n∈o(n1.5)n \in o(n^{1.5})NTIME(g(n))NTIME(g(n))\text{NTIME}(g(n))NTIME(G(n))NTIME(G(n))\text{NTIME}(G(n))g(n+1)=o(G(n))g(n+1)=o(G(n))g(n + 1) = o(G(n)) g(n)=o(G(n))g(n)=o(G(n))g(n) = o(G(n))
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再発関係の解決
反復関係解く。 この例の本は、を推測してから、であると誤って主張しています。 T(n)=2T(⌊n/2⌋)+nT(n)=2T(⌊n/2⌋)+nT(n) = 2T(\lfloor n/2 \rfloor) + nT(n)=O(n)T(n)=O(n)T(n) = O(n)T(n)≤cnT(n)≤cnT(n) \leq cn T(n)≤2(c⌊n/2⌋)+n≤cn+n=O(n)⟵ wrong!!T(n)≤2(c⌊n/2⌋)+n≤cn+n=O(n)⟵ wrong!!\qquad \begin{align*} T(n) & \leq 2(c \lfloor n/2 \rfloor ) + n \\ &\leq cn +n \\ &=O(n) \quad \quad \quad \longleftarrow \text{ wrong!!} \end{align*} 以来、 constant.Theエラーである私たちが証明していないことである正確な誘導仮説の形を。ccc 上記では、本の内容を正確に引用しています。ここで私の質問は、なぜにを書けないのか、そしてあり、したがってでしょうか？cn+n=dncn+n=dncn+n=dnd=c+1d=c+1d=c+1T(n)≤dnT(n)≤dnT(n) \leq dnT(n)=O(n)T(n)=O(n)T(n) = O(n) 注意： 正解はT(n)=O(nlogn).T(n)=O(nlog⁡n).T(n) =O(n …
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