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特定のサイズのすべての非同型グラフを列挙する
サイズすべての無向グラフを列挙したいのですが、各同型クラスのインスタンスが1つだけ必要です。言い換えると、個の頂点上のすべての非同型（無向）グラフを列挙したいのです。これどうやってするの？nnnnnnn より正確には、次のプロパティを持つ一連の無向グラフを生成するアルゴリズムが必要です：個の頂点上の無向グラフごとに、がと同型であるようなインデックスが存在します。アルゴリズムが可能な限り効率的であることを望みます。言い換えれば、私が気にするメトリックは、このグラフのリストを生成して反復する実行時間です。第二の目標は、アルゴリズムが実装するのに複雑すぎないのが良いことです。G1,G2,…,GkG1,G2,…,GkG_1,G_2,\dots,G_kGGGnnniiiGGGGiGiG_i 各同型クラスから少なくとも1つのグラフが必要であることに注意してください。ただし、アルゴリズムが複数のインスタンスを生成する場合は問題ありません。特に、すべての可能なグラフをカバーしている限り、出力シーケンスに2つの同形グラフが含まれていれば、そのようなアルゴリズムを見つけやすくしたり、より効率的なアルゴリズムを有効にしたりすることができます。 私のアプリケーションは次のとおりです。サイズすべてのグラフでテストしたいプログラムがあります。2つのグラフが同型である場合、私のプログラムは両方で同じ動作をすることを知っています（両方で正しいか、両方で間違っています）ので、各同型クラスから少なくとも1つの代表を列挙し、次にテストするだけで十分ですそれらの入力に関するプログラム。私のアプリケーションでは、はかなり小さいです。nnnnnnn 私が検討したいくつかの候補アルゴリズム： 考えられるすべての隣接行列、つまり、対角線上にすべて0がある対称 0-or-1行列をすべて列挙できます。ただし、これには行列の列挙が必要です。これらの行列の多くは同型グラフを表すため、これは多くの労力を浪費しているようです。2 n （n − 1 ）/ 2n×nn×nn\times n2n(n−1)/22n(n−1)/22^{n(n-1)/2} 考えられるすべての隣接行列を列挙し、それぞれについて、以前に出力したグラフのいずれかと同型かどうかをテストできました。以前に出力されたものと同型でない場合は、出力します。これにより、出力リストが大幅に短縮されますが、少なくともステップの計算が必要になります（グラフの同型チェックが超高速であると仮定した場合でも）。私のメトリック。2n(n−1)/22n(n−1)/22^{n(n-1)/2} 隣接行列のサブセットを列挙することは可能です。特に、が個の頂点グラフである、一般性を失うことなく、なるように頂点が配置されていると仮定できます。。言い換えれば、すべてのグラフは、頂点が非減少度の順に配置されているグラフと同型です。そのため、このプロパティを持つ隣接行列のみを列挙すれば十分です。そのような隣接行列がいくつあるのか正確にはわかりませんが、よりもはるかに少なく、GGGnnnV={v1,…,vn}V={v1,…,vn}V=\{v_1,\dots,v_n\}degv1≤degv2≤⋯≤degvndegv1≤degv2≤⋯≤degvn\deg v_1 \le \deg v_2 \le \cdots \le \deg v_n2n(n−1)/22n(n−1)/22^{n(n-1)/2}2n(n−1)/22n(n−1)/22^{n(n-1)/2}計算のステップ。ただし、これによって多くの冗長性が残ります。多くの同型クラスが何度もカバーされるため、これが最適であるとは思えません。 もっと良くできますか？正しく理解すれば、約非同型グラフの等価クラス。上記のアルゴリズムより実行時間が良いアルゴリズムを見つけることができますか？どれだけ近づくことができますか下限？私は主に小さな扱いやすさ（たとえば、または程度;そのようなアルゴリズムを完了までもっともらしく実行できるほど小さい）を気にし、大きな漸近性についてはあまり気にしません。2n(n−1)/2/n!2n(n−1)/2/n!2^{n(n-1)/2}/n!∼2n(n−1)/2/n!∼2n(n−1)/2/n!\sim 2^{n(n-1)/2}/n!nnnn=5n=5n=5n=8n=8n=8nnn 関連：等価でないバイナリ行列を構築します（残念ながら、有効な答えを受け取っていないようです）。