特定のサイズのすべての非同型グラフを列挙する

サイズすべての無向グラフを列挙したいのですが、各同型クラスのインスタンスが1つだけ必要です。言い換えると、個の頂点上のすべての非同型（無向）グラフを列挙したいのです。これどうやってするの？$n$$n$

より正確には、次のプロパティを持つ一連の無向グラフを生成するアルゴリズムが必要です：個の頂点上の無向グラフごとに、がと同型であるようなインデックスが存在します。アルゴリズムが可能な限り効率的であることを望みます。言い換えれば、私が気にするメトリックは、このグラフのリストを生成して反復する実行時間です。第二の目標は、アルゴリズムが実装するのに複雑すぎないのが良いことです。$G_1,G_2,\dots,G_k$$G$$n$$i$$G$$G_i$

各同型クラスから少なくとも1つのグラフが必要であることに注意してください。ただし、アルゴリズムが複数のインスタンスを生成する場合は問題ありません。特に、すべての可能なグラフをカバーしている限り、出力シーケンスに2つの同形グラフが含まれていれば、そのようなアルゴリズムを見つけやすくしたり、より効率的なアルゴリズムを有効にしたりすることができます。

私のアプリケーションは次のとおりです。サイズすべてのグラフでテストしたいプログラムがあります。2つのグラフが同型である場合、私のプログラムは両方で同じ動作をすることを知っています（両方で正しいか、両方で間違っています）ので、各同型クラスから少なくとも1つの代表を列挙し、次にテストするだけで十分ですそれらの入力に関するプログラム。私のアプリケーションでは、はかなり小さいです。$n$$n$

私が検討したいくつかの候補アルゴリズム：

• 考えられるすべての隣接行列、つまり、対角線上にすべて0がある対称 0-or-1行列をすべて列挙できます。ただし、これには行列の列挙が必要です。これらの行列の多くは同型グラフを表すため、これは多くの労力を浪費しているようです。2 n （n − 1 ）/$n\times n$$2^{n(n-1)/2}$

• 考えられるすべての隣接行列を列挙し、それぞれについて、以前に出力したグラフのいずれかと同型かどうかをテストできました。以前に出力されたものと同型でない場合は、出力します。これにより、出力リストが大幅に短縮されますが、少なくともステップの計算が必要になります（グラフの同型チェックが超高速であると仮定した場合でも）。私のメトリック。$2^{n(n-1)/2}$

• 隣接行列のサブセットを列挙することは可能です。特に、が個の頂点グラフである、一般性を失うことなく、なるように頂点が配置されていると仮定できます。。言い換えれば、すべてのグラフは、頂点が非減少度の順に配置されているグラフと同型です。そのため、このプロパティを持つ隣接行列のみを列挙すれば十分です。そのような隣接行列がいくつあるのか正確にはわかりませんが、よりもはるかに少なく、$G$$n$$V=\{v_1,\dots,v_n\}$$\deg v_1 \le \deg v_2 \le \cdots \le \deg v_n$$2^{n(n-1)/2}$$2^{n(n-1)/2}$計算のステップ。ただし、これによって多くの冗長性が残ります。多くの同型クラスが何度もカバーされるため、これが最適であるとは思えません。

もっと良くできますか？正しく理解すれば、約非同型グラフの等価クラス。上記のアルゴリズムより実行時間が良いアルゴリズムを見つけることができますか？どれだけ近づくことができますか下限？私は主に小さな扱いやすさ（たとえば、または程度;そのようなアルゴリズムを完了までもっともらしく実行できるほど小さい）を気にし、大きな漸近性についてはあまり気にしません。$2^{n(n-1)/2}/n!$$\sim 2^{n(n-1)/2}/n!$$n$$n=5$$n=8$$n$

関連：等価でないバイナリ行列を構築します（残念ながら、有効な答えを受け取っていないようです）。

おそらく、頂点数が少ないすべての非同型グラフを列挙する最も簡単な方法は、Brendan McKayのコレクションからそれらをダウンロードすることです。列挙アルゴリズムはMcKayの論文[1]で説明されており、あらゆる方法でサイズn-1の非同形を拡張し、新しい頂点が正準であるかどうかを確認することで機能します。gengマッケイのグラフ同型チェッカーのように実装されていnautyます。

[1]：BD McKay、ラベル付き列挙のための技術の応用、Congressus Numerantium、40（1983）207-221。

3番目のアイデアを改善することを提案します。隣接行列を行ごとに塗りつぶし、以前に塗りつぶされた頂点と次数および隣接関係が等しい頂点を追跡します。したがって、最初は、同値類は同程度のすべてのノードで構成されます。
新しく塗りつぶされた頂点が同等のノードの一部のみに隣接している場合、どの選択でも同じ等屈折クラスからの表現につながります。したがって、現在の塗りつぶされた頂点が最も高い番号を持つ同等の頂点に隣接する割り当てのみを考慮します（残りのプロセスでは同等クラスを2つに分割します）。

このアプローチはすべての同型をカバーすると思います（しかし、証明しようとしませんでした）。 大きなグラフの場合、エッジおよび（およびその他のエッジを持つサブグラフには、2つの同等の頂点グループがあるという事実に基づいて同型が得られる可能性がありますが、アプローチ。（もちろん拡張することもできますが、のみを目指している場合、努力する価値があるとは思いません。）$n<6$
$(1,2)$$(3,4)$$n=6$

このアルゴリズムの単純な実装は行き止まりに陥り、与えられた一連の度数と以前の割り当てに従って隣接行列を埋めることができないことがわかります。これらを早期に検出/フィルタリングするのは、努力する価値があるかもしれません。いくつかのアイデア：

• 度の合計が奇数の場合、グラフを形成することはありません
• 残っている頂点のすべて/どれにもすぐに接続する必要がある頂点のエントリを埋めます。

これらの論文は興味深いかもしれません。

「グラフの簡潔な表現について」、Gyorgy Turan、Discrete Applied Mathematics、Volume 8、Issue 3、1984年7月、pp。289-294 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X84901264

「一般的なラベルなしグラフの簡潔な表現」、Moni Naor、Discrete Applied Mathematics、Volume 28、Issue 3、1990年9月、303-307ページ http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X9090011Z

これらは、頂点ラベル付きグラフをエンコードするためのエンコードおよびデコード関数を提供し、2つのそのようなグラフが、一方が他方の頂点ラベルを並べ替えた結果である場合にのみ同じコードワードにマップします。

さらに、エンコードおよびデコード機能が効率的であることが証明されています。

最初の論文は平面グラフを扱っています。2番目の論文では、平面性の制限が削除されました。

編集：この論文も関連する可能性があります：

準多項式時間のグラフ同型、Laszlo Babai、シカゴ大学、プレプリントarXiv、2015年12月9日 http://arxiv.org/pdf/1512.03547v1.pdf

ババイの彼の結果の発表はニュースを作りました：https : //www.sciencenews.org/article/new-algorithm-cracks-graph-problem

しかし、おそらく私はOPの質問をこれらの3つの論文と混同しているのではないでしょうか？OPは非同型グラフを列挙したいと考えていますが、2つのグラフが同型であるかどうかを判断するための効率的な方法があるとなお役に立つかもしれません。

まさにこの質問を扱っている90年代初期の論文があります。

レスリー・ゴールドバーグによるラベルなしグラフをリストするための効率的なアルゴリズム。

このアプローチでは、各同型クラスの正確に1つの表現が列挙され、後続の2つのグラフの生成の間に多項式遅延のみが存在することが保証されます。

$n$