隣接行列の多項式を検査することによるグラフ同型への素朴なアプローチに関する文献

私はおそらく偽陽性を持っているグラフ同型へのアプローチを説明し、それが機能しないことを示す文献があるかどうか知りたいです。

2つの隣接行列所与、同型のチェックの確か素朴な方法は、行ごとかどうかをチェックすることであるの、行が存在するの列の順列であるを付し、。もう少し厳密には、質問は"ローカル同型"があるれるすべての行の。ローカル同型の生成は、行列を作成することにより、多項式時間で実行できます。次にと$G, H$$u$$G$$v$$G$$u$$G[u] \sim H[v]$$\pi$$G[u] \sim H[\pi(u)]$$n\times n$$A$$A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$$G$$H$は局所同型であり、はサイクルカバーを持ち、すべてのサイクルカバーは局所同型です。$A$

すべての通常のグラフは明らかにこの方法をだますので、少し単純な方法は、行列のべき乗を計算し、ローカル同型性をチェックして、事実を利用することですあなたが設定することにより、複数の行列を持っているあなたが見つけたときにどのようにその力、とだけ最後にサイクルカバーのチェックを。さらに少ない単純なアプローチは、演算回路の組実際、多項式のセットを見つけることである、と設定A [U、V] = 0を我々が見つけたときに、任意の多項式PとP（G）[U] \ない\シムPを（ H）[v]。$G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$$A[u,v] = 0$$G^k[u]\not\sim H^k[v]$$A[u,v]=0$$p$$p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

これは私にグラフ同型への信じられないほど素朴なアプローチのように見えるので、誰かがすでにそれを調査して次のような定理を証明したと確信しています

Thm無限に多くの$n$場合、非同型の$n\times n$行列$G, H$と順列$\pi$があり、すべての多項式$p$、$p(G)$と$p(H)$はその順列によって局所的に同型になります：$p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$。

質問：そのような定理はありますか？文献を調べましたが、見つかりません。

2つの非同型行列ごとに、計算することでローカル同型が反論されるように、多項式である次数境界がある場合、または簡単に計算できる多項式、それぞれ長さが多項式で制限されているが指数関数的である場合、グラフ同型のPアルゴリズムがあります。そのような多項式（または算術回路）が推測しやすい場合は、coRPアルゴリズムがあります。非局所同型性を目撃する算術回路（のファミリ）が常に存在する場合、これはcoNPアルゴリズムを提供します。$k$$n$$G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$$p_1, \ldots ,p_k$

ハイパワー行列のエントリが小さいフィールドで多項式を計算することによって、たとえばそれらをモジュロ小さい素数で計算することによって大きくなりすぎるという問題を回避できることに注意してください。でCONPのアルゴリズム、証明者は、これらの素数を提供することができます。

はい、多かれ少なかれ、そのような定理があります。基本的には、k次元のWeisfeiler-Lehman手続きが、グラフ同型検定のすべての既知の組み合わせアプローチを包含する（つまり支配する）と述べています。（あなたの具体的な提案は、私が誤解しない限り、2次元のWeisfeiler-Lehman手続きによって包含されるべきです。）固定された各kに対して、Cai-Fürerとして知られるk次元のWeisfeiler-Lehman手続きに対する反例のクラスがあります。 -イマーマン建設。

私は最初にヴァイスファイラー・リーマン法とカイ・フュラー・イマーマン法の基礎を学びました

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

ヴァイスファイラーリーマン法については、そこに記載されている以上に多くのことを学ぶことができますが、少なくともカイフュラーイマーマン法の処理は完全であり、目的には十分です。「Weisfeiler-リーマン手順ビクラマンアービンドによっては」、トピックへの招待を意味するもので、最近の簡潔なエッセイです。

おそらく、私の答えを取り除く重要な点は、k次元のワイスファイラーリーマン法に包含されない（つまり支配されている）純粋な組み合わせ同型検定法（質問に記載されている方法など）を見つけた場合、その場合、これは、メソッドが実際に有用かどうかに関係なく、それ自体が画期的なものになるでしょう。