グラフ同型写像へのグループ同型写像

計算の複雑さに関するいくつかのブログを読んで（たとえば、こちら）、2つのグループが同型かどうかを判断する方が、2つのグラフの同型をテストするよりも簡単であるという考え方を理解しました。たとえば、記載されているページでは、グラフ同型はグループ同型よりも一般的な問題であると述べています。

したがって、私は次のポーズを取っています

グループが与えられた場合、誰かが|のサイズ多項式のグラフΓ （G ）の構築を与えることができます 。G | その結果、Γ （G ）≅ Γ （H $G$$\Gamma(G)$$|G|$グループのための Gと H

$$\Gamma(G) \cong \Gamma(H) \iff G \cong H$$ $G$$H?$

削減については、Millerの古典的な論文で説明されています。

そんなに早くない。ここには大きなあいまいさが潜んでいます。

計算のためにグループをどのように入力しますか？

グラフとは異なり、グループは、入力サイズと結果の複雑さの点ではるかに異なる手段で入力できます。Millerで引用されているバージョンは、最も自然度の低いものの1つであり、たとえば、GAP、Magma、Sageなどのコンピューター代数システムでは見られないでしょう。そのため、理論的な前提はあるものの、問題を解決するということはあまりにも遠すぎます。

1. ジェネレータと関係：グループ同型は決定不能です（グラフ同型は決定可能です）。

$G$$G=1$

ジェネレータとリレーションによるグループ入力：グループ同型はグラフ同型よりも難しく、実際には決定できません。

2. ソフトウェアシステムで使用される入力：順列および行列グループのグループ同型は、少なくともグラフ同型と同じくらい難しい（逆ではない）。

$p$

ソフトウェアシステムのグループ入力の場合：グループ同型は、少なくともグラフ同型と同じくらい困難です。

3. 理論上の複雑さの入力：ブラックボックスグループの入力の場合、グループ同型はNPまたはco-NPにあることがわかりません（グラフ同型は両方にあります）。

$\Sigma^2$$f:G\to H$$G$$H$$f$有効な準同型です。少なくとも、グループのプレゼンテーションが必要なようですが、簡単に入手することはできません。

ブラックボックスグループの場合：グループ同型は、少なくともグラフ同型と同じくらい困難です。

4. ケイリー表の入力。

1970年代のタージャン、プルトル=ヘデロン、ミラーなどは、乗算表全体で入力されたグループもグラフとして扱うことができることを観察しました。このようにして、グループ同型は多項式時間のグラフ同型に還元されます。ミラーはさらに多くの組み合わせ構造が同じことをしていることを観察して、さらに進んでいます。彼はまた、半群同型がグラフ同型と同等であることを示しました。

$n^{O(\log n)}$

Cayley表の場合：グループ同型はグラフ同型になります。

$n$$O((\log n)^3)$

$n$$O(n^2 \log n)$