グラフ同型と自己同型グループ

与えられた2つのグラフが同型であるかどうかを判断する一般的なアプローチは、各グラフのいわゆる正準ラベル（または正準グラフ）を計算し、それらが一致するかどうかを確認することです。

Nautyなどのツールは、とりわけグラフの自己同型に依存するいくつかの巧妙なアイデアを使用して枝刈りされた検索ツリーを介して正準グラフを計算します。このため、Nautyではグラフの自己同型グループのジェネレータを計算できます。ただし、私がNautyの背後にある考え方を理解している限り、正準グラフの計算では、一般にグラフ自己同型グループのジェネレーターを計算する必要はありません。

したがって、私の質問は次のとおりです。GIとグラフ自己同型グループの生成セットの計算の間に、形式的な複雑さ-理論的な関係はありますか？

どうもありがとう。

complexity-theory graph-isomorphism

— user88338
ソース

場合我々は判断することができる

G

$G$ 及び

H

$H$ の自己同型群を介し同形である

G \cup H

$G \cup H$ 。逆の方向に行くと、確信がありません---おそらく、自己同型グループが与えられたグラフに標準的なラベルを付ける簡単な方法があるでしょう。

— レベッカJ.ストーンズ

@ RebeccaJ.Stones、それは同じ質問ですか？ウィキペディアが古くなければ、グラフの同型とグラフの正規化が多項式時間に等しいかどうかはわからないので、自己同型グループのグラフを標準的にラベル付けするアルゴリズムが、計算間の関係について役立つことを教えてくれるとは思いませんグループとGI。

— Peter Taylor

コメントが示唆するように、あなたが「GI」と呼ぶものについて混乱があるかもしれません。しかし、ここの考えは正しいです。これは、2つのグループ間の同型を見つけるのと同じように、自己同型グループの生成元を見つけるのと同じ多項式時間です。アイデアは「古典的」であり、Luksのグループの同型のような初期の作品に出現する有界原子価は多項式時間であり、そこでも「よく知られている」と考えられていたと思います。

請求。ましょう及びである接続グラフ。次いで場合、および場合のみ、すべての生成集合の元素を含むよう。 $G$ $H$ $G\cong H$ $S$ $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $g\in S$ $G^g=H$

備考ここで重要なことはそうでなければ、問題が解決しない時々計算の発電機を同じように、すべての発電セットはグラフを交換することです。したがって、たとえば、2つのグループの同型は、このように簡単には生成されません。それはのためではない全ての発生セットである交換う及び。代わりに、対角のコピーに移動できます。この状況は修正できますが、より強力な議論が必要です。したがって、ここでのアプローチは、すべてのカテゴリに適用されるものではありません。 $\mathrm{Aut}(G\times H)$ $G$ $H$ $G\cong H$

証明。一連の発生毎（又は一つでもあれば）であれば、逆のために入れ替え及び次いでするその機能の制限により、。したがって、これはすべて順方向に関するものです。（しかし、私がこれを言及するのは、証明が反対であるので、同じ方向に進んでいるように見える可能性があるためです。） $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $G$ $H$ $G\cong H$ $G$

仮定セットによって生成された要素が送信のすべてのに、及びをの一つの頂点場合、（接続仮定によって音符の一つの頂点に送られる次いで全体グラフに送信さので、ハト穴によってにおけるいくつかの頂点に送信される SOおよび）、我々は2つのグラフが入れ替わることになります。以来 $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $S$ $G$ $G$ $H$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $H$ $G$ $|G|=|H|$ をに送信し、次に内の関数のすべての構成がをに送信するため、これらの関数の逆も同様です。したがって、すべての単語がから（およびから）を送信します。のない要素そうインターチェンジ及び。 $S$ $G$ $G$ $S$ $G$ $G$ $S$ $G$ $G$ $H$ $H$ $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $G$ $H$

最後なら次いで同型同型得の。要素が存在しないので、交換する及び意味。結果は次のとおりです。 $G\cong H$ $\phi:G\to H$ $\phi\sqcup \phi^{-1}$ $G\sqcup H$ $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $G$ $H$ $G\not\cong H$ $\Box$

しかし、今の決定（あるから起こっていることを明確になる点検索するには？）（私を与えるまたはその証明書）まだ主張する必要があります（とすることができます）。また、ある同型から同型の生成元への別の引数があります（グラフを個別化して同型検定を繰り返します）。したがって、これらすべてを同等にするために数ページの議論があるとすべての人が言いました。ただし、標準的なラベルは表示されません。それははるかに難しいです（私が思い出すならNP難しい）。NAutYとTracesは多くの例をすばやく処理しますが。 $G\cong H$ $\phi:G\to H$ $G\not\cong H$

— アルジェボーイ
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