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初めて正規分布モンテカルロシミュレーションを行ったときにショックを受けたのは、サンプルサイズがのみであるサンプルからの標準偏差の平均がはるかに小さいことが判明したことです。つまり、回の平均よりも、母集団の生成に使用される\ sigmaです。ただし、これはあまり覚えていない場合はよく知られていますが、私はそれを知っていました。これがシミュレーションです。100100100100100100n=2n=2n=22π−−√2π \sqrt{\frac{2}{\pi }}σσ\sigma 100、n = 2、\ text {SD}の推定値、および\ text {E}（s_ {n = 2}）= \ sqrt \を使用してN（0,1）の 95％信頼区間を予測する例を次に示します。 frac {\ pi} {2} \ text {SD}。N(0,1)N(0,1)N(0,1)n=2n=2n=2SDSD\text{SD}E(sn=2)=π2−−√SDE(sn=2)=π2SD\text{E}(s_{n=2})=\sqrt\frac{\pi}{2}\text{SD} RAND() RAND() Calc Calc N(0,1) N(0,1) SD E(s) -1.1171 -0.0627 0.7455 0.9344 1.7278 -0.8016 1.7886 2.2417 1.3705 -1.3710 1.9385 2.4295 1.5648 -0.7156 1.6125 2.0209 1.2379 …

20 normal-distribution  standard-deviation  expected-value  unbiased-estimator  umvue 

仮定からIIDことN （μ 、σ 2）未知でμ ∈ R及びσ 2 > 0X1,X2,...,XnX1,X2,...,XnX_1, X_2,...,X_nN(μ,σ2)N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)μ∈Rμ∈R\mu \in \mathcal Rσ2>0σ2>0\sigma^2>0 してみましょうZ=X1−X¯S,Z=X1−X¯S,Z=\frac{X_1-\bar{X}}{S},Sはここでの標準偏差です。 ZZZにルベーグpdf があることを示すことができます f(z)=n−−√Γ(n−12)π−−√(n−1)Γ(n−22)[1−nz2(n−1)2]n/2−2I(0,(n−1)/n√)(|Z|)f(z)=nΓ(n−12)π(n−1)Γ(n−22)[1−nz2(n−1)2]n/2−2I(0,(n−1)/n)(|Z|)f(z)=\frac{\sqrt{n} \Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\sqrt{\pi}(n-1)\Gamma\left(\frac{n-2}{2}\right)}\left[1-\frac{nz^2}{(n-1)^2}\right]^{n/2-2}I_{(0,(n-1)/\sqrt{n})}(|Z|) 私の質問は、このPDFを取得する方法ですか？ 質問からであるここでのUMVUE見つけることを例3.3.4にP(X1≤c)P(X1≤c)P(X_1 \le c)。UMVUEを見つけるためのロジックと手順は理解できますが、pdfの入手方法がわかりません。 私はこの質問にもこれに関連して考える1 助けてくれてありがとう、または関連する参考文献も当てはまります。

15 self-study  umvue 

パラメータの推定には、かなりの数の方法があります。MLE、UMVUE、MoM、意思決定理論、その他はすべて、パラメーター推定に役立つ理由についてかなり論理的なケースがあるように見えます。ある方法は他の方法よりも優れていますか、それとも単に「最適な」推定量を定義する方法の問題ですか（直交誤差を最小化すると通常の最小二乗アプローチから異なる推定値が生成されるのと同様）？

12 estimation  mathematical-statistics  maximum-likelihood  method-of-moments  umvue 

してみましょうから引き出されたランダムサンプルで人口。(X1,X2,⋯,Xn)(X1,X2,⋯,Xn)(X_1,X_2,\cdots,X_n)N(θ,θ2)N(θ,θ2)\mathcal N(\theta,\theta^2)θ∈Rθ∈R\theta\in\mathbb R のUMVUEを探しています。θθ\theta 結合密度は(X1,X2,⋯,Xn)(X1,X2,⋯,Xn)(X_1,X_2,\cdots,X_n) fθ（x1、x2、⋯ 、xん）= ∏i = 1ん1θ 2 π−−√exp[ − 12つのθ2（x私− θ ）2]=1（θ2 π−−√）んexp[ −12θ2Σi = 1ん（x私- θ）2]=1（θ 2 π−−√）んexp[ 1θΣi = 1んバツ私− 12つのθ2Σi = 1んバツ2私− n2]= g（θ 、T（x））h （x）∀（x1、⋯ 、xん）∈ Rん、∀θ ∈ Rfθ(x1,x2,⋯,xn)=∏i=1n1θ2πexp⁡[−12θ2(xi−θ)2]=1(θ2π)nexp⁡[−12θ2∑i=1n(xi−θ)2]=1(θ2π)nexp⁡[1θ∑i=1nxi−12θ2∑i=1nxi2−n2]=g(θ,T(x))h(x)∀(x1,⋯,xn)∈Rn,∀θ∈R\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=\prod_{i=1}^n\frac{1}{\theta\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2\theta^2}(x_i-\theta)^2\right] \\&=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\theta)^2\right] \\&=\frac{1}{(\theta\sqrt{2\pi})^n}\exp\left[\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_i-\frac{1}{2\theta^2}\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{n}{2}\right] \\&=g(\theta,T(\mathbf x))h(\mathbf x)\qquad\forall\,(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb R^n\,,\forall\,\theta\in\mathbb R \end{align} 、ここでおよび。h（x）=1g（θ 、T（x））= 1（θ …

10 mathematical-statistics  normal-distribution  estimation  inference  umvue 

この質問は、ロバート・ホッグの数学統計入門第6バージョン問題7.4.9、388ページからの質問です。 LET PDFファイルでIIDことゼロの他の場所、\シータ&gt; 0。X1,...,XnX1,...,XnX_1,...,X_nf(x;θ)=1/3θ,−θ&lt;x&lt;2θ,f(x;θ)=1/3θ,−θ&lt;x&lt;2θ,f(x;\theta)=1/3\theta,-\theta0 （）MLE検索θ^θ^\hat{\theta}のθθ\theta （b）はθ^θ^\hat{\theta}のための十分な統計θθ\theta？どうして ？ （c）(n+1)θ^/n(n+1)θ^/n(n+1)\hat{\theta}/nは\ thetaの一意のMVUE θθ\thetaですか？どうして ？ （a）と（b）は解決できると思いますが、（c）で混乱しています。 のために）： してみましょうY1&lt;Y2&lt;...YnY1&lt;Y2&lt;...YnY_10、この導関数は負であることがわかります。 したがって、尤度関数L(θ;x)L(θ;x)L(\theta;x)は減少しています。 (−θ&lt;y1(−θ&lt;y1(-\theta< y_1 とyn&lt;2θ)yn&lt;2θ) y_n < 2\theta)、 （θ⇒⇒\Rightarrow (θ&gt;−y1(θ&gt;−y1(\theta>-y_1 と θ&gt;yn/2),⇒θ&gt;max(−y1,yn/2)θ&gt;yn/2),⇒θ&gt;max(−y1,yn/2)\theta>y_n/2), \Rightarrow \theta>max(-y_1,y_n/2) θ θ &gt; M X （- Y 1、Y N / 2 ）θ = M X （- Y 1 、Y nはL(θ,x)L(θ,x)L(\theta,x)ときに、減少している、以降samllest値を有する尤度関数を最大を達成する、場合、尤度関数は最大値を達成します。θθ\thetaθ&gt;max(−y1,yn/2)θ&gt;max(−y1,yn/2)\theta>max(-y_1,y_n/2)θ=max(−y1,yn/2)θ=max(−y1,yn/2)\theta=max(-y1,y_n/2) ∴∴\therefore mleθ^=max(−y1,yn/2)θ^=max(−y1,yn/2)\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2) （b）の場合： …

10 self-study  maximum-likelihood  order-statistics  sufficient-statistics  umvue 

ましょ、X1,X2,...,XnX1,X2,...,XnX_1, X_2, . . . , X_n pdfを持つiid確率変数 fX(x∣θ)=θ(1+x)−(1+θ)I(0,∞)(x)fX(x∣θ)=θ(1+x)−(1+θ)I(0,∞)(x)f_X(x\mid\theta) =\theta(1 +x)^{−(1+\theta)}I_{(0,\infty)}(x) ここで、θ&gt;0θ&gt;0\theta >0です。1のUMVUEを与える1θ1θ\frac{1}{\theta}とその分散の計算 私は、UMVUEを取得するためのそのような2つの方法について学びました。 クラマーラオ下限（CRLB） レーマンシェッフェテレオム 前者の2つを使ってこれを試みます。私はここで何が起こっているのか完全に理解していないことを認めなければなりません、そして私は私が試みた解決策を例の問題に基づいています。私はそれを持っているfX(x∣θ)fX(x∣θ)f_X(x\mid\theta)との完全なワンパラメータ指数分布族であります h （x ）= I（0 、∞ ）h(x)=I(0,∞)h(x)=I_{(0,\infty)}、c （θ ）= θc(θ)=θc(\theta)=\theta、w （θ ）= − （1 + θ ）w(θ)=−(1+θ)w(\theta)=-(1+\theta)、t （x ）= log （1 + x ）t(x)=log(1+x)t(x)=\text{log}(1+x) 以来、w′(θ)=1w′(θ)=1w'(\theta)=1でゼロでΘΘ\Theta、CRLB結果が適用されます。我々は持っています log fX(x∣θ)=log(θ)−(1+θ)⋅log(1+x)log fX(x∣θ)=log(θ)−(1+θ)⋅log(1+x)\text{log }f_X(x\mid\theta)=\text{log}(\theta)-(1+\theta)\cdot\text{log}(1+x) ∂∂θlog fX(x∣θ)=1θ−log(1+x)∂∂θlog fX(x∣θ)=1θ−log(1+x)\frac{\partial}{\partial \theta}\text{log }f_X(x\mid\theta)=\frac{1}{\theta}-\text{log}(1+x) …

10 self-study  estimation  inference  exponential-family  umvue 

統計が完了しているかどうかを知りたい以下のためのにおけるの設定。 σ2N（μ、σ2）T(X1,…,Xn)=∑ni=1(Xi−X¯n)2n−1T(X1,…,Xn)=∑i=1n(Xi−X¯n)2n−1T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}σ2σ2\sigma^2N（μ 、σ2）N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) これは、が以前に知られているかどうかに依存しますか？がに対して完全である場合、Lehmann-SchefféによってUMVUEになります。しかし、がわかっている場合は、と見なすことができその分散はCramer-Raoはにバインドされており、厳密に未満であるため、 UMVUEにすることはできません。T σ 2μμ\muTTTσ2σ2\sigma^2W （X 1、... 、XのN）= Σ N I = 1（X I - μ ）2μμ\mu2σ4/N2σ4/（N-1）=Varの[T]TW（X1、… 、Xん）= ∑んi = 1（X私- μ ）2ん、W(X1,…,Xn)=∑i=1n(Xi−μ)2n,W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},2つのσ4/ n2σ4/n2\sigma^4/n2つのσ4/（n−1）=Var[T]2σ4/(n−1)=Var[T]2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]TTT

9 normal-distribution  estimation  inference  umvue 

この質問は、ロバート・ホッグの数学統計入門第6バージョンの質問7.6.7からのものです。問題は ： サイズランダムサンプルをpdfnnnf(x;θ)=(1/θ)exp(−x/θ)I(0,∞)(x)f(x;θ)=(1/θ)exp⁡(−x/θ)I(0,∞)(x)f(x;\theta)=(1/\theta)\exp(-x/\theta)\mathbb{I}_{(0,\infty)}(x) のMLEとMVUEを見つけます。P(X≤2)P(X≤2)P(X \le 2) MLEを見つける方法を知っています。 MVUEを見つけるアイデアは、Rao-BlackwellとLehmannとScheffeを使用することだと思います。最初に、不偏推定量を見つけます。これはであり、 a十分な統計。P(X≤2)P(X≤2)P(X \le 2)I(0,2)(X1)I(0,2)(X1)\mathbb{I}_{(0,2)}(X_1)Y=∑ni=1XiY=∑i=1nXiY=\sum_{i=1}^n X_i 次に、がMUVEになります。E[I(0,2)(X1)∣Y]E[I(0,2)(X1)∣Y]\mathbb{E}[I_{(0,2)}(X_1)\mid Y] 期待値を見つけるには、X1X1X_1とY = \ sum_ {i = 1} ^ n X_iの同時分布が必要ですY=∑ni=1XiY=∑i=1nXiY=\sum_{i=1}^n X_i ここで行き詰まっています。 本には解決策がありますが、私は解決策を理解していません。解は、Z=X1Z=X1Z=X_1とYYYの結合分布を見つけようとしていますが、最初にV=X1+X2V=X1+X2V=X_1+X_2とU=X1+X2+X3+...U=X1+X2+X3+...U=X_1+X_2+X_3+...ヤコビアンは、他の変数を統合したものです。 ヤコビアンはなぜ1に等しいのですか？ 共同分布の答えは g(z,y;θ)=(y−z)n−2(n−2)!θne−y/θg(z,y;θ)=(y−z)n−2(n−2)!θne−y/θg(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{(n-2)!\theta^n}e^{-y/\theta} どうすれば入手できますか？ 更新：西安によって提案されたように（この本は変換が混乱することを示唆しています）、次の方法で変換を実行してみましょう： しましょう Y1Y2Y3Y4Yn=X1,=X1+X2,=X1+X2+X3,=X1+X2+X3+X4,⋮=X1+X2+X3+X4+⋯+XnY1=X1,Y2=X1+X2,Y3=X1+X2+X3,Y4=X1+X2+X3+X4,⋮Yn=X1+X2+X3+X4+⋯+Xn\begin{align} Y_1 & =X_1, \\Y_2 & =X_1+X_2,\\ Y_3 & =X_1+X_2+X_3, \\Y_4 & =X_1+X_2+X_3+X_4, \\ & \quad \vdots …

8 self-study  exponential-family  umvue  rao-blackwell 

Rao-Blackwellの定理によれば、統計値TTTがθθ\thetaに対して十分かつ完全であり、E(T）= θE(T)=θE(T)=\thetaである場合、TTTは均一最小分散不偏推定量（UMVUE）です。 公平な推定者がUMVUEであることを正当化する方法を私は思っています： もしTTTが十分でない、UMVUEになりますか？ もしTTTが完全でない、UMVUEになりますか？ TTTが不十分または完全でない場合、UMVUEになる可能性がありますか？

8 mathematical-statistics  umvue  rao-blackwell