ユニークなMVUEを見つける

この質問は、ロバート・ホッグの数学統計入門第6バージョン問題7.4.9、388ページからの質問です。

LET PDFファイルでIIDことゼロの他の場所、\シータ> 0。$X_1,...,X_n$$f(x;\theta)=1/3\theta,-\theta<x<2\theta,$$\theta>0$

（）MLE検索$\hat{\theta}$の$\theta$

（b）は$\hat{\theta}$のための十分な統計$\theta$？どうして ？

（c）$(n+1)\hat{\theta}/n$は\ thetaの一意のMVUE $\theta$ですか？どうして ？

（a）と（b）は解決できると思いますが、（c）で混乱しています。

のために）：

してみましょう$Y_1<Y_2<...Y_n$順序統計こと。

L（\ theta; x）= \ frac {1} {3 \ theta} \ times \ frac {1} {3 \ theta} \ times ... \ times \ frac {1} {3 \ theta} = \ frac {1} {（3 \シータ）^ N} - \シータ<Y_1及びy_n <2 \シータ、他の場所のL（\シータ; X）= 0$L(\theta;x)=\frac{1}{3\theta}\times\frac{1}{3\theta}\times...\times\frac{1}{3\theta}=\frac{1}{(3\theta)^n}$$-\theta< y_1$$y_n < 2\theta$$L(\theta;x)=0$

$\frac{dL(\theta;x)}{d\theta}=-n(3\theta)^{n-1}$、$\theta>0$、この導関数は負であることがわかります。

したがって、尤度関数$L(\theta;x)$は減少しています。

$(-\theta< y_1$と$y_n < 2\theta)$、 （$\Rightarrow$ $(\theta>-y_1$と $\theta>y_n/2), \Rightarrow \theta>max(-y_1,y_n/2)$

θ θ > M X （- Y 1、Y N / 2 ）θ = M X （- Y 1 、Y $L(\theta,x)$ときに、減少している、以降samllest値を有する尤度関数を最大を達成する、場合、尤度関数は最大値を達成します。$\theta$$\theta>max(-y_1,y_n/2)$$\theta=max(-y1,y_n/2)$

$\therefore$ mle$\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

（b）の場合：

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(max(x_i)<2\theta)\times 1$

Y N = M A X （X I）θ Y N /$\therefore$ネイマンの因数分解定理により、は十分な統計量です。したがって、も十分な統計です。$y_n=max(x_i)$$\theta$$y_n/2$

同様に、

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(min(x_i)>-\theta)\times 1$

Y 1 =は、mがI N （X I）θ - 、Y $\therefore$ネイマンの因数分解定理により、は十分な統計量です。したがって、も十分な統計です。$y_1=min(x_i)$$\theta$$-y_1$

（c）の場合：

まず、のCDFを見つけます$X$

$F(x)=\int_{-\theta}^{x}\frac{1}{3\theta}dt=\frac{x+\theta}{3\theta},-\theta<x<2\theta$

次に、注文統計の本の式からと両方のpdfを見つけることができます。Y $Y_1$$Y_n$

$f(y_1)=\frac{n!}{(1-1)!(n-1)!}[F(y_1)]^{1-1}[1-F(y_1)]^{n-1}f(y_1)=n[1-\frac{y_1+\theta}{3\theta}]^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

同様に、

$f(y_n)=n(\frac{y_n+\theta}{3\theta})^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

次に、とのPDFファミリーの完全性を示しますf （y n$f(y_1)$$f(y_n)$

F T C U （θ ）= 0 θ > $E[u(Y_1)]=\int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=0 \Rightarrow \int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)(2\theta-y_1)dy_1=0$。（積分の導出）により、すべてのに対してを示すことができ。$FTC$$u(\theta)=0$$\theta>0$

したがって、pdfファミリが完成します。$Y_1$

同様に、まだによって、pdfファミリーが完成していることを示すことができます。Y $FTC$$Y_n$

問題は、が公平であることを示す必要があることです。$\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

場合$\hat{\theta}=-y_1$

$E(-y_1)=\int_{-\theta}^{2\theta}(-y_1)\frac{n}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_1d(2\theta-y_1)^n$

部品で積分することで積分を解くことができます

$E(-y_1)=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_1(2\theta-y_1)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(2\theta-y_1)^ndy_1]=\frac{1}{(3\theta)^n}[\theta (3\theta)^n-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{(n-2)\theta}{n+1}$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(-y_1)=\frac{n+1}{n}\frac{(n-2)\theta}{n+1}=\frac{n-2}{n}\theta$

したがって、は、場合、不偏推定量ではありません θ θ =-Y$\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$$\theta$$\hat{\theta}=-y_1$

場合$\hat{\theta}=y_n/2$

$E(Y_n)=\int_{-\theta}^{2\theta}y_n\frac{n}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}dy_n=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_nd(y_n+\theta)^n=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_n(y_n+\theta)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(y_n+\theta)^ndy_n]=\frac{1}{(3\theta)^n}[2\theta(3\theta)^-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=2\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{2n-1}{n+1}\theta$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(Y_n/2)=\frac{n+1}{2n}E(Y_n)=\frac{n+1}{2n}\frac{2n-1}{n+1}\theta=\frac{2n-1}{2n}\theta$

それでも、は、場合、不偏推定量ではありません θ θ =YN/$\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$$\theta$$\hat{\theta}=y_n/2$

しかし、本の答えは、がユニークなMVUEであるということです。偏った推定器である場合、それがMVUEである理由を私は理解していません。$\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

または、私の計算が間違っています。間違いを見つけるのを手伝ってください。より詳細な計算を提供できます。

どうもありがとうございました。

極値を扱うには注意が必要ですが、難しいことではありません。投稿の中央付近にある重要な質問は、

...が公平であることを示す必要があります。$\frac{n+1}{n}{\hat \theta}^{n}$

以前に入手した

$$\hat\theta = \max(-y_1, y_n/2) = \max\{-\min\{y_i\}, \max\{y_i\}/2\}.$$

面倒に見えますが、累積分布関数を考えると、計算は初歩的になります 。これを始めるために、に注意してください。してみましょうこの範囲の数です。定義により、0 ≤ θ ≤ θ $F$$0\le \hat\theta \le \theta$$t$

$$\eqalign{ F(t) &= \Pr(\hat\theta\le t) \\&= \Pr(-y_1 \lt t\text{ and }y_n/2 \le t) \\ &= \Pr(-t \le y_1 \le y_2 \cdots \le y_n \le 2t). }$$

これは、すべての値がと間にある可能性です。これらの値は、長さ間隔を制限します。分布が均一であるため、特定のがこの区間にある確率は、その長さに比例します。$n$$-t$$2t$$3t$$y_i$

$$\Pr(y_i \in [-t, 2t]) = \frac{3t}{3\theta} = \frac{t}{\theta}.$$

は独立しているため、これらの確率は乗算され、$y_i$

$$F(t) = \left(\frac{t}{\theta}\right)^n.$$

変数にを使用して、、の可能な値の間隔で生存関数を積分することにより、期待値をすぐに見つけることができます。$1-F$$\hat\theta$$[0, \theta]$$y=t/\theta$

$$\mathbb{E}(\hat\theta) = \int_0^\theta \left(1 - \left(\frac{t}{\theta}\right)^n\right)dt = \int_0^1 (1-y^n)\theta dy = \frac{n}{n+1}\theta.$$

（この期待値の式は、部品による統合を介して通常の積分から導出されます。詳細は、https：//stats.stackexchange.com/a/105464の最後に記載されています。）

再スケーリングが得られます$(n+1)/n$

$$\mathbb{E}\left(\frac{n+1}{n}\,{\hat \theta}\right) = \theta,$$

QED。