との結合分布を

この質問は、ロバート・ホッグの数学統計入門第6バージョンの質問7.6.7からのものです。問題は：

サイズランダムサンプルをpdf $n$
$f (x; θ) = (1 / θ) \exp (- x / θ) I_{(0, \infty)} (x)$ $f(x;\theta)=(1/\theta)\exp(-x/\theta)\mathbb{I}_{(0,\infty)}(x)$

のMLEとMVUEを見つけます。 $P(X \le 2)$

MLEを見つける方法を知っています。

MVUEを見つけるアイデアは、Rao-BlackwellとLehmannとScheffeを使用することだと思います。最初に、不偏推定量を見つけます。これはであり、 a十分な統計。 $P(X \le 2)$ $\mathbb{I}_{(0,2)}(X_1)$ $Y=\sum_{i=1}^n X_i$

次に、がMUVEになります。 $\mathbb{E}[I_{(0,2)}(X_1)\mid Y]$

期待値を見つけるには、 $X_1$ と分布が必要です $Y=\sum_{i=1}^n X_i$

ここで行き詰まっています。

本には解決策がありますが、私は解決策を理解していません。解は、 $Z=X_1$ と $Y$ の結合分布を見つけようとしていますが、最初に $V=X_1+X_2$ と $U=X_1+X_2+X_3+...$ ヤコビアンは、他の変数を統合したものです。

ヤコビアンはなぜ1に等しいのですか？

共同分布の答えは
$g (z, y; θ) = \frac{(y - z)^{n - 2}}{(n - 2)! θ^{n}} e^{- y / θ}$ $g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{(n-2)!\theta^n}e^{-y/\theta}$

どうすれば入手できますか？

更新：西安によって提案されたように（この本は変換が混乱することを示唆しています）、次の方法で変換を実行してみましょう：

しましょう

\begin{aligned} Y_{1} & = X_{1}, \\ Y_{2} & = X_{1} + X_{2}, \\ Y_{3} & = X_{1} + X_{2} + X_{3}, \\ Y_{4} & = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4}, \\ ⋮ \\ Y_{n} & = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + \dots + X_{n} \end{aligned}

$\begin{align} Y_1 & =X_1, \\Y_2 & =X_1+X_2,\\ Y_3 & =X_1+X_2+X_3, \\Y_4 & =X_1+X_2+X_3+X_4, \\ & \quad \vdots \\Y_n & =X_1+X_2+X_3+X_4+\cdots+X_n \end{align}$

その後

\begin{aligned} X_{1} & = Y_{1}, \\ X_{2} & = Y_{2} - Y_{1}, \\ X_{3} & = Y_{3} - Y_{2}, \\ X_{4} & = Y_{4} - Y_{3}, \\ ⋮ \\ X_{n} & = Y_{n} - Y_{n - 1} \end{aligned}

$\begin{align} X_1 & =Y_1, \\ X_2 & =Y_2-Y_1,\\ X_3 & =Y_3-Y_2,\\X_4 & =Y_4-Y_3,\\ & \,\,\,\vdots \\ X_n & =Y_n-Y_{n-1} \end{align}$

対応するヤコビアンは次のとおりです。

| J | = | \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{n}} \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{n}} \\ \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{n}} \end{matrix} | = \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 & 1 \end{array} = 1

$\left | J \right |=\begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} &\frac{\partial x_1}{\partial y_2} &\frac{\partial x_1}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_1}{\partial y_n} \\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} &\frac{\partial x_2}{\partial y_2} &\frac{\partial x_2}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_2}{\partial y_n} \\ \frac{\partial x_3}{\partial y_1} &\frac{\partial x_3}{\partial y_2} &\frac{\partial x_3}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_3}{\partial y_n} \\ \vdots&\vdots & \vdots & &\vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1} &\frac{\partial x_n}{\partial y_2} &\frac{\partial x_n}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{vmatrix}=\begin{array}{r} 1& 0 &0 & \cdots &0 &0 \\ -1& 1 & 0 & \cdots & 0&0\\ 0&-1 & 1 & \cdots &0 &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0&0 &0 & \cdots & -1&1 \end{array}=1$

ため IIDれる [または ]の関節密度です。 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ $\Gamma(1,\theta)$ $\mathcal{E}(1/\theta)$ $x_1,x_2,\ldots,x_n$

f （ {バツ}_{1} 、 {バツ}_{2} 、 \dots 、 {バツ}_{ん} ） = \frac{1}{θ} \exp （ - {バツ}_{1} / θ ） \times \frac{1}{θ} \exp （ - {バツ}_{2} / θ ） \times \dots \times \frac{1}{θ} \exp （ - {バツ}_{ん} / θ ） 私_{{バツ}_{1} \geq 0} \dots 私_{{バツ}_{ん} \geq 0}

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{1}{\theta}\exp(-x_1/\theta) \times\frac{1}{\theta} \exp(-x_2/\theta)\times \cdots\times\frac{1}{\theta}\exp(-x_n/\theta) \mathbb{I}_{x_1\ge 0} \cdots\mathbb{I}_{x_n\ge 0}$

したがって、の結合pdf は $(Y_1,Y_2,\ldots, Y_n)$

\begin{aligned} h （ y_{1} 、 y_{2} 、 \dots 、 y_{ん} ） & = \frac{1}{θ^{ん}} \exp （ - y_{1} / θ ） \exp [- （ y_{2} - y_{1} ） / θ] \exp [- （ y_{３} - y_{2} ） / θ] \dots \exp [- （ y_{ん} - y_{ん - 1} ） / θ] | J | 私_{y_{1} \geq 0} 私_{y_{2} - y_{1} \geq 0} \dots 私_{y_{ん} - y_{ん - 1} \geq 0} \\ = \frac{1}{θ^{ん}} \exp （ - y_{ん} / θ ） 私_{y_{1} \geq 0} 私_{y_{2} \geq y_{1}} \dots 私_{y_{ん} \geq y_{ん - 1}} \end{aligned}

$\begin{align*}h(y_1,y_2,\ldots,y_n)&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_1/\theta)\exp[-(y_2-y_1)/\theta]\exp[-(y_3-y_2)/\theta]\cdots\exp[-(y_n-y_{n-1})/\theta]\left |J \right |\mathbb{I}_{y_1\ge 0}\mathbb{I}_{y_2-y_1\ge 0}\cdots\mathbb{I}_{y_n-y_{n-1} \ge 0}\\&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\mathbb{I}_{y_1\ge 0} \mathbb{I}_{y_2\ge y_1}\cdots\mathbb{I}_{y_n\ge y_{n-1}}\end{align*}$

次に、を統合して、結合pdfとを取得できます。 $y_2,y_3,\ldots,y_{n-1}$ $y_1$ $y_n$

西安からの提案のおかげで、今私は問題を解決することができます、私は以下に詳細な計算を与えます

\begin{aligned} g (y_{1}, y_{n}) = & \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}} \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) d y_{n - 1} d y_{n - 2} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \\ \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}} d y_{n - 1} d y_{n - 2} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 4}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} (y_{n} - y_{n - 2}) d y_{n - 2} d y_{n - 3} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 5}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 4}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 3})^{2}}{2} d y_{n - 3} d y_{n - 4} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 6}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 5}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 4})^{3}}{2 \times 3} d y_{n - 4} d y_{n - 5} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 7}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 6}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 5})^{4}}{2 \times 3 \times 4} d y_{n - 5} d y_{n - 4} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \dots \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \frac{(y_{n} - y_{1})^{n - 2}}{(n - 2)!} \end{aligned}

$\begin{align} g(y_1,y_n) = {} &\int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-3}}^{y_n} \int_{y_{n-2}}^{y_n} \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)dy_{n-1}dy_{n-2} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\\ & \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-3}}^{y_n}\int_{y_{n-2}}^{y_n} \, dy_{n-1}\,dy_{n-2}\cdots dy_3\,dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-4}}^{y_n}\int_{y_{n-3}}^{y_n}(y_n-y_{n-2})\,dy_{n-2}\,dy_{n-3}\cdots dy_3\,dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-5}}^{y_n}\int_{y_{n-4}}^{y_n}\frac{(y_n-y_{n-3})^2}{2}dy_{n-3} \,dy_{n-4}\cdots dy_3 \, dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n }\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-6}}^{y_n} \int_{y_{n-5}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-4})^3}{2 \times 3} \, dy_{n-4} \, dy_{n-5} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-7}}^{y_n} \int_{y_{n-6}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-5})^4}{2 \times 3 \times 4} \, dy_{n-5} \, dy_{n-4} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \cdots \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\frac{(y_n-y_1)^{n-2}}{(n-2)!} \end{align}$

本の表記法に変更すると、 $y=y_n, z=y_1$

g (z, y; θ) = \frac{(y - z)^{n - 2}}{θ^{n} (n - 2)!} e^{- y / θ} .

$g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{\theta^n(n-2)!}e^{-y/\theta}.$

これは問題を解決します。

— 深い北
ソース

を経由するという概念は理解できませんが、からへの変換には、ヤコビアンが1つあります。ヤコビアンの定義。

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

(x_{1}, . . ., x_{n})

$(x_1,...,x_n)$

(x_{1}, x_{1} + x_{2}, \dots, x_{1} + \dots + x_{n})

$(x_1,x_1+x_2,\ldots,x_1+\ldots+x_n)$

— 西安

@西安、ありがとうございます。変換を試してみましたが、本が提案する解決策をまだ取得できません

Y_{1} = X_{1}, Y_{2} = X_{1} + X_{2}, . . ., Y_{n} = X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}

$Y_1=X_1, Y_2=X_1+X_2,..., Y_n=X_1+X_2+...+X_n$

— Deep North

あと少しです。インジケーター関数を追加しての結合密度の導出を修正しました。これは、の積分の範囲が最初にを統合し、次にを統合した場合...これにより、不足しているが提供されます。

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1,\ldots,Y_n)$

y_{2}, \dots, y_{n - 1}

$y_2,\ldots,y_{n-1}$

\int_{y_{1}}^{y_{ん}} \int_{y_{2}}^{y_{ん}} \dots \int_{y_{ん - 2}}^{y_{ん}}

$\int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-2}}^{y_n}$

y_{n - 1}

$y_{n-1}$

y - n - 2

$y-{n-2}$

(n - 2)!

$(n-2)!$

— 西安

変換引数は正常に機能し、常に役立ちますが、変数が離散的である場合に使用する方法にある程度類似する、この問題を解決する別の方法を提案します。主な違いは、離散確率変数は連続rvに対して明確に定義されているが、、少し注意する必要があることを思い出してください。 $X$ $P(X=x)$ $Y$ $P(Y=y)=0$

してみましょう、私たちは今、共同配送を探しています $S=\sum_{i=1}^n X_i$

f_{{バツ}_{1} 、 S} （ {バツ}_{1} 、 s ）

$f_{X_1, S} \left(x_1, s \right)$

確率で近似できます

\begin{aligned} f_{{バツ}_{1} 、 S} （ {バツ}_{1} 、 s ） & \approx P [{バツ}_{1} < {バツ}_{1} < {バツ}_{1} + Δ {バツ}_{1} 、 s < S < s + Δ s] \\ \approx P [{バツ}_{1} < {バツ}_{1} < {バツ}_{1} + Δ {バツ}_{1} 、 s - {バツ}_{1} < Σ_{私 = 2}^{ん} {バツ}_{私} < s - {バツ}_{1} + Δ s] \\ = P [{バツ}_{1} < {バツ}_{1} < {バツ}_{1} + Δ {バツ}_{1}] P [s - {バツ}_{1} < Σ_{私 = 2}^{ん} {バツ}_{私} < s - {バツ}_{1} + Δ s] \\ \approx \frac{1}{θ} \exp {- \frac{{バツ}_{1}}{θ}} \frac{{（ s - {バツ}_{1} ）}^{ん - 2} \exp {- \frac{s - {バツ}_{1}}{θ}}}{Γ （ ん - 1 ） θ^{ん - 1}} \\ = \frac{{（ s - {バツ}_{1} ）}^{ん - 2}}{θ^{ん} （ ん - 2 ） ！} \exp {- \frac{s}{θ}} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X_1, S} \left(x_1, s \right) &\approx P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 , s<S<s+\Delta s \right] \\ &\approx P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 , s-x_1<\sum_{i=2}^n X_i<s-x_1+\Delta s \right] \\ &= P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 \right] P \left[ s-x_1<\sum_{i=2}^n X_i<s-x_1+\Delta s \right] \\ &\approx \frac{1}{\theta} \exp\left\{-\frac{x_1}{\theta}\right\} \frac{ \left(s-x_1\right)^{n-2} \exp\left\{-\frac{s-x_1}{\theta} \right\}}{\Gamma \left(n-1 \right) \theta^{n-1}} \\ &= \frac{\left(s-x_1\right)^{n-2}}{\theta^n \left(n-2\right)!} \exp\left\{-\frac{s}{\theta} \right\} \end{align}$

以下のための。4行目では、指数が特殊なケースであるガンマ分布の加法性プロパティを使用していることに注意してください。 $0<x_1<s<\infty$

表記を調整すると、上記と同じ結果になります。この方法では、複数の統合を回避できます。そのため、私はそれを好みます。ただし、密度の定義方法には注意してください。

お役に立てれば。

— ジョンK
ソース

私が間違っている場合は修正してください。ただし、UMVUEの条件付き期待値を見つけるために条件付き分布を見つける必要はないと思います。独立したベータ変数とガンマ変数間の既知の関係を使用して、条件付き平均を見つけることができます。具体的には、とが独立したガンマ変量である場合、はガンマ変量であり、ベータ変量独立しているという事実です。 $U$ $V$ $U+V$ $\frac{U}{U+V}$

ここで、とは独立して配布されます。そしてはとは独立して配布されます。 $X_1\sim\text{Gamma}(1,\frac{1}{\theta})$ $\sum_{i=2}^nX_i\sim\text{Gamma}(n-1,\frac{1}{\theta})$ $X_1+\sum_{i=2}^nX_i\sim\text{Gamma}(n,\frac{1}{\theta})$ $\dfrac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\sim\text{Beta}(1,n-1)$

規定 $h(X_1,\cdots,X_n)=\begin{cases}1&,\text{ if }X_1\le2\\0&,\text{ otherwise }\end{cases}$

$T=\sum_{i=1}^n X_i$ は、分布群に対して十分です。 $\{1-\exp(-\frac{x}{\theta}):\theta>0\}$

UMVUEそうであり、によってレーマン・シェッフェ定理。 $P(X\le 2)$ $E(h\mid T)$

我々は、している

\begin{aligned} E （ h | T = t ） & = P （ {バツ}_{1} \leq 2 | Σ_{私 = 1}^{ん} {バツ}_{私} = t ） \\ = P （ \frac{{バツ}_{1}}{Σ_{私 = 1}^{ん} {バツ}_{私}} \leq \frac{2}{t} | Σ_{私 = 1}^{ん} {バツ}_{私} = t ） \\ = P （ \frac{{バツ}_{1}}{{バツ}_{1} + Σ_{私 = 2}^{ん} {バツ}_{私}} \leq \frac{2}{t} | Σ_{私 = 1}^{ん} {バツ}_{私} = t ） \\ = P （ \frac{{バツ}_{1}}{{バツ}_{1} + Σ_{私 = 2}^{ん} {バツ}_{私}} \leq \frac{2}{t} ） \\ = \int_{0}^{2 / t} \frac{（ 1 - バツ ）^{ん - 2}}{B （ 1 、 ん - 1 ）} d バツ \\ = 1 - {（ 1 - \frac{2}{t} ）}^{ん - 1} \end{aligned}

$\begin{align}E(h\mid T=t)&=P(X_1\le2\mid \sum_{i=1}^n X_i=t)\\&=P\left(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^nX_i}\le\frac{2}{t}\mid\sum_{i=1}^n X_i=t\right)\\&=P\left(\frac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\le\frac{2}{t}\mid\sum_{i=1}^n X_i=t\right)\\&=P\left(\frac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\le\frac{2}{t}\right)\\&=\int_0^{2/t}\frac{(1-x)^{n-2}}{B(1,n-1)}\,\mathrm{d}x\\&=1-\left(1-\frac{2}{t}\right)^{n-1}\end{align}$

したがって、はます。 $P(X\le2)$ $1-\left(1-\dfrac{2}{\sum_{i=1}^nX_i}\right)^{n-1}$

— 頑固な原子
ソース

私はこの答えが好きです。

— hyg17