不偏推定量がUMVUEになるために必要な条件は何ですか？

8

Rao-Blackwellの定理によれば、統計値 $T$ が $\theta$ に対して十分かつ完全であり、 $E(T)=\theta$ である場合、 $T$ は均一最小分散不偏推定量（UMVUE）です。

公平な推定者がUMVUEであることを正当化する方法を私は思っています：

もし $T$ が十分でない、UMVUEになりますか？
もし $T$ が完全でない、UMVUEになりますか？
$T$ が不十分または完全でない場合、UMVUEになる可能性がありますか？

mathematical-statistics umvue rao-blackwell

— アレックスブラウン
ソース

1

「あれば最後のものがなければならない

ありません十分なまたは完全な」「Tであれば、おそらくこともない十分なも完全に」（あなたが意味する場合は、両方の条件が同時にホールド）？

T

$T$

— Richard Hardy

2.では場合は

完全ではない、それはです:) MVUEいますが、それに手紙Uを添付している場合は、完全性を必要とするか

T

$T$

— JohnK

必要に応じて、十分条件 UMVUEなるように（有限の二次モーメントを有する）不偏推定のためには、それがゼロのすべての不偏推定量と相関しなければならないことです。

— StubbornAtom

4

L. Bondessonによる完全な十分な統計が存在しない場合の均一最小分散不偏推定について、次の例を含む、完全な統計ではないUMVUEの例をいくつか示します。

LET 確率変数の独立した観察である、及び未知であり、既知の形状パラメータとともに配布ガンマであり及び既知のスケールパラメータ。次いでのUMVUEある。ただし、場合、完全な十分な統計はありません。 $X_1, \ldots, X_n$ $X = \mu + \sigma Y$ $\mu$ $\sigma$ $Y$ $k$ $\theta$ $\bar{X}$ $E(X) = \mu + k\theta\sigma$ $k \neq 1$ 。 $(\mu, \sigma)$

— デビッドR
ソース

3

十分な統計量ではないUMVUEが存在する可能性があることを示しましょう。

まず第一に、推定器がすべてのサンプルで（たとえば）値を取る場合、明らかには UMVUEであり、後者は（定数）関数と見なすことができます。一方、この推定量は一般に明らかに十分ではありません。 $T$ $0$ $T$ $0$ $\theta$ $T$

「その全体の」未知のパラメーター UMVUE を見つけるのは少し難しく、が十分ではないような（その関数のUMVUEではなく）。例えば、 "データが" 1通常のRVによってだけ与えられていると仮定、不明です。明らかに、はに対して十分かつ完全です。してみましょうの場合との場合 $Y$ $\theta$ $Y$ $\theta$ $X\sim N(\tau,1)$ $\tau\in\mathbb{R}$ $X$ $\tau$ $Y=1$ $X\ge0$ $Y=0$ $X<0$ 、およびlet
。いつものように、我々は、によって表す及び、それぞれのCDFとPDF 。したがって、推定量はに対してバイアスがなく、完全な統計関数です。したがって、は $\theta:=\mathsf{E}_\tau Y=\mathsf{P}_\tau(X\ge0)=\Phi(\tau)$ $\Phi$ $\varphi$ $N(0,1)$
$Y$ $\theta=\Phi(\tau)$ $X$ $Y$ 。 $\theta=\Phi(\tau)$

一方、関数は連続であり、でからまで厳密に増加します。だから、対応全単射です。つまり、問題をからに1対1の方法で再パラメーター化できます。したがって、は「古い」パラメータだけではなく、 UMVUEです。 $\Phi$ $\mathbb{R}$ $0$ $1$ $\mathbb{R}\ni\tau=\Phi^{-1}(\theta)\leftrightarrow\theta=\Phi(\tau)\in(0,1)$ $\tau$ $\theta$ $Y$ $\theta$ $\tau$ しかし、 "新"パラメータのだけでなく、。ただし、はに対して十分ではないため、は十分ではありません。実際、 $\theta\in(0,1)$ $Y$ $\tau$ $\theta$ として。ここでは、既知の漸近的等価使用としてL'病院の規則により、次の、。だから、に依存、したがって上で

\begin{matrix} P_{τ} (X < - 1 | Y = 0) = P_{τ} (X < - 1 | X < 0) = \frac{P_{τ} (X < - 1)}{P_{τ} (X < 0)} \\ = \frac{Φ (- τ - 1)}{Φ (- τ)} \sim \frac{φ (- τ - 1) / (τ + 1)}{φ (- τ) / τ} \sim \frac{φ (- τ - 1)}{φ (- τ)} = e^{- τ - 1 / 2} \end{matrix}

$\begin{multline*} \mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)=\mathsf{P}_\tau(X<-1|X<0)=\frac{\mathsf{P}_\tau(X<-1)}{\mathsf{P}_\tau(X<0)} \\ =\frac{\Phi(-\tau-1)}{\Phi(-\tau)} \sim\frac{\varphi(-\tau-1)/(\tau+1)}{\varphi(-\tau)/\tau}\sim\frac{\varphi(-\tau-1)}{\varphi(-\tau)}=e^{-\tau-1/2} \end{multline*}$

τ \to \infty

$\tau\to\infty$

Φ (- τ) \sim φ (- τ) / τ

$\Phi(-\tau)\sim\varphi(-\tau)/\tau$

τ \to \infty

$\tau\to\infty$

P_{τ} (X < - 1 | Y = 0)

$\mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)$

τ

$\tau$

θ

$\theta$ 、これは

が

に対して十分ではないことを示します（

は

UMVUEです）。

Y

$Y$

θ

$\theta$

Y

$Y$

θ

$\theta$

— イオシフ・ピネリス
ソース

推定器

常に値

取る場合、どのようにして不偏にすることができますか？

T

$T$

0

$0$

— 西安

1

T

$T$

q (θ)

$q(\theta)$

θ

$\theta$

E_{θ} T = q (θ)

$E_\theta T=q(\theta)$

θ

$\theta$

q (θ) = 0

$q(\theta)=0$

θ

$\theta$

T = 0

$T=0$

q (θ)

$q(\theta)$

T = 0

$T=0$ 明らかに、パラメータの定数ゼロ関数の不偏推定量です。

— Iosif Pinelis 2018年

わかりました。ありがとうございます。あなたが定数関数を「推定」しているという事実を見逃していました。

— 西安