内の完全な統計

統計が完了しているかどうかを知りたい以下のためのにおけるの設定。 σ2N（μ、σ2

$$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$$ $\sigma^2$$N(\mu,\sigma^2)$

これは、が以前に知られているかどうかに依存しますか？がに対して完全である場合、Lehmann-SchefféによってUMVUEになります。しかし、がわかっている場合は、と見なすことができその分散はCramer-Raoはにバインドされており、厳密に未満であるため、 UMVUEにすることはできません。T σ $\mu$$T$$\sigma^2$W （X 1、... 、XのN）= Σ N I = 1（X I - μ ）$\mu$2σ4/N2σ4/（N-1）=Varの[T]

$$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$$ $2\sigma^4/n$$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$$T$

私自身の質問は解決したと思います。この回答と新しい回答についてのコメントは大歓迎です。

場合はで観測されている人口とある未知の、そして （これは、通常のファミリーがは指数関数ファミリーです）。マップの画像としては、定理（たとえば、ここの 6ページを参照）、統計によるオープンセットが含まれています N （μ 、σ 2）$x_1,\ldots,x_n$$N(\mu,\sigma^2)$$\mu$

$$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$$ $$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$$ 、U=（ Σ N iが= 1 X iは、 Σ N iは= 1 X 2 I）（μ、 σ 2）TU σ 2 T σ $\mathbb{R}^2$$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$は十分で完全です。の関数であり、及びために中心がある、レーマン・シェッフェによってためUMVUEある。$(\mu,\sigma^2)$$T$$U$$\sigma^2$$T$$\sigma^2$

ここで、が既知の場合、はパラメトリック空間に属さなくなり、したがって、「新しい」密度関数は （新しい指数ファミリがあります）。マップの画像には開いたサブセットが含まれているため、統計で十分ですを完成させます。さらに中央揃えされているため、はLehmann-Schefféによる UMVUEです。 μ F （X 1、... 、xはN | σ 2）= （$\mu=\mu_0$$\mu$

$$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$$ RWσ2Wσ $$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$$ $\mathbb{R}$$W$$\sigma^2$$W$$\sigma^2$

統計では、が推定値として使用されます。真の値がわかっている場合は、分散の推定量が適しています。はバイアスがなく、より小さい分散です。したがって、がわかっている設定では、使用し。ˉ $T(X_{1},\ldots,X_{n})$$\bar{X}$μ W （X 1、... 、X N）W T μ $\mu$$\mu$$W(X_{1},\ldots,X_{n})$$W$$T$$\mu$$W$